Taylor 展开

hbghlyj

问题：求一个级数 \(s(t)\)，使它在 \(\infty\) 处的 Taylor 展开具有形式：\[\sum_{m\ge 2}\frac1{m}t^{-m}.\]手算验证当然费时费力，其实只要掌握 Mathematica 的最基本使用方法，我们就可以很容易计算出 (s(t)) 前若干项的表达式.
Mathematica 中计算级数展开的命令是 Series[], 它不但可以计算在有限点处的展开式，还可以计算函数在 \(\infty\) 处的展开。所以，如果我们给定函数 f[t]，考虑它在 \(\infty\) 展开到 \(k\) 阶的表达式，只需用

1. Series[f[t], {t, Infinity, k}]

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所以，我们先待定 \(s(t) = -t (1+ a t^{-1} + b t^{-2} + c t^{-3} + d t^{-4} + …)\)，计算 \[\frac12 s(t)^{-2}+\frac13 s(t)^{-3} + \frac14 s(t)^{-4}\] 的 Taylor 展开，令其各项系数等于 \(\frac1{m}\)，就可以递推地计算出 \(a,b,c,\cdots\)。下面是代码：

1. s[t] := -t*(1 + a*t^(-1) + b*t^(-2) + c*t^(-3) + d*t^(-4))
   
2. f[t] := 1⁄2* s[t]^(-2) + 1⁄3 * s[t]^(-3) + 1⁄4 * s[t]^(-4)
   
3. Series[f[t], {t, Infinity, 3}]

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