关于一道立几的疑惑

TTAANN001

从空间一点$ O$ 引四条线段，$OA = 2, OB = 3, OC = 4, OD = 5$，求 $ABCD$ 不共面时四面
体 $ABCD$ 的最大体积。（撸题集P689 题目5.2.23.）

TTAANN001

我主要是想问下为什么这样做不行：

为方便计算，取$A(2,0,0)$，将$B，C，D$看成是半径为$3，4，5$的球上的一点，设四面体$ABCD$中与$D$相对的面为$\alpha ，\alpha$ 过点$A$，且原点与$\alpha$ 的距离为$x$，这样$D$与平面的最大距离为$x+5$,接下来就是要求$\Delta A B C$面积的最大值。

$\alpha$ 过点$A，\alpha$ 截球后会得到两个圆，记这两个圆的半径为$r_{2},r_{3}(r_{2}<r_{3})$,点$A$到圆心的距离为$r_{1}$,我们很容易得到

$$S_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} (r_{2}r_{3}\sin (\beta -\alpha )+r_{1}(r_{2}\sin \alpha -r_{3}\sin \beta )$$

$$(S_{\Delta A B C})_{max}=\frac{1}{2}(r_{2}r_{3}+r_{1}\sqrt{r_{2}^{2}+r_{3}^{2}} )$$

其中$$\left\{\begin{matrix}
r_{1}=\sqrt{2^{2}-x^{2}} \\
r_{2}=\sqrt{3^{2}-x^{2}}\\
r_{3}=\sqrt{4^{2}-x^{2}}
\end{matrix}\right.$$


代入后得到：$$(S_{\Delta A B C})_{max}=\frac{1}{2} \sqrt{(9-x^{2})(16-x^{2})}+\sqrt{(4-x^{2})(25-2x^{2})}$$

$$V_{ABCD}=\frac{1}{6}(x+5)(\sqrt{(9-x^{2})(16-x^{2})}+\sqrt{(4-x^{2})(25-2x^{2})})$$

求导后得到：$x\approx 0.671$时，$(V_{ABCD})_{max}\approx19.64$

TTAANN001

TTAANN001 发表于 2022-8-8 10:22
我主要是想问下为什么这样做不行：

为方便计算，取$A(2,0,0)$，将$B，C，D$看成是半径为$3，4，5$的球上的 ...

撸题集P689 题目5.2.23.中给出的答案是$V_{max}\approx 20.317$

kuing

TTAANN001 发表于 2022-8-8 10:22
我主要是想问下为什么这样做不行：

为方便计算，取$A(2,0,0)$，将$B，C，D$看成是半径为$3，4，5$的球上的 ...

`(\S{ABC})_{\max}` 怎么得到的？

TTAANN001

kuing 发表于 2022-8-8 14:23
`(\S{ABC})_{\max}` 怎么得到的？

$\beta -\alpha =\frac{\pi }{2}$ ,代入后再辅助角公式......

emm......好像不大对，$S_{\Delta A B C}$好像不是这个时候去最大......我发现其实不用固定点$A$，这样就成了这个东东：在三个同心圆上分别取一个点连接成三角形，何时面积最大？

色k

TTAANN001 发表于 2022-8-8 19:19
$\beta -\alpha =\frac{\pi }{2}$ ,代入后再辅助角公式......

emm......好像不大对，$S_{\Delta A B C}$ ...

圆心为三角形垂心（且在三角形内）时。

TTAANN001

TTAANN001 发表于 2022-8-8 10:22
我主要是想问下为什么这样做不行：

为方便计算，取$A(2,0,0)$，将$B，C，D$看成是半径为$3，4，5$的球上的 ...

$O$是$\Delta A B C$的垂心，则有$OB\perp AC，BC\perp OA$，设$O$到$BC$的距离为$y$,则：$$\frac{y+r_{1}}{\sqrt{r_{2}^{2}-y^{2}} } =\frac{\sqrt{r_{3}^{2}-y^{2}}}{y}$$

化简后得：$$2r_{1}y^{3}+(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2})y^{2}-r_{2}^{2}r_{3}^{2}=0$$

又有：$$\left\{\begin{matrix}
r_{1}=\sqrt{2^{2}-x^{2}} \\
r_{2}=\sqrt{3^{2}-x^{2}}\\
r_{3}=\sqrt{4^{2}-x^{2}}
\end{matrix}\right.$$

代入得：$$2\sqrt{4-x^{2}}y^{3}+(29-3x^{2})y^{2}-(9-x^{2})(16-x^{2})=0$$

然后......就算不出来了。

kuing

TTAANN001 发表于 2022-8-8 23:46
$O$是$\Delta A B C$的垂心，则有$OB\perp AC，BC\perp OA$，设$O$到$BC$的距离为$y$,则：$$\frac{y+r_{1 ...

所以说这个问题一般是没简单解的，即便是平面上的（5#）都涉三次方程。

设 `\triangle ABC` 面积为 `S`，外接圆半径为 `R`，垂心 `H` 在其内部，则有 `HA=2R\cos A` 等，代入恒等式 `\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1` 化简为
\[(HA^2+HB^2+HC^2)R+HA\cdot HB\cdot HC=4R^3,\quad(1)\]
对 `S=2R^2\sin A\sin B\sin C` 平方得
\[S^2=4R^4(1-\cos^2A)(1-\cos^2B)(1-\cos^2C),\]
代入 `HA=2R\cos A` 等化简得
\[16S^2R^2=(4R^2-HA^2)(4R^2-HB^2)(4R^2-HC^2),\quad(2)\]
由式 (1) 与式 (2) 消去 `R` 得到的是
\begin{align*}
&256S^6+16\left( \sum HA^4-10\sum HA^2HB^2 \right)S^4\\
&-8\left( \sum HA^6(HB^2+HC^2)-4\sum HA^4HB^4+2\sum HA^4HB^2HC^2 \right)S^2\\
&+(HA^2-HB^2)^2(HB^2-HC^2)^2(HC^2-HA^2)^2=0,
\end{align*}
这个关于 `S^2` 的三次方程一般没有简单解。

回到 1# 的思路上，照楼主所设的，就是 `HA=\sqrt{2^2-x^2}` 等，代入化为
\[16S^6+(-27x^4+522x^2-2087)S^4+(323x^2+838)S^2+11025=0,\]
然后就是要在此式的前提下求 `V=\frac13(x+5)S` 的最大值，消 `S` 得
\[1296V^6+9(-27x^4+522x^2-2087)(x+5)^2V^4+(323x^2+838)(x+5)^4V^2+1225(x+5)^6=0,\]
将上式左边记作 `F(x,V)`，则由方程组
\[\led
F(x,V)&=0,\\
\frac{\partial F(x,V)}{\partial x}&=0
\endled\]
所确定的 `(x,V)` 就是 `V` 的极值点，这个方程组恰好能够解，而且两数均为正的只有唯一一个：
\[\led
x&=\frac{\sqrt{241}-9}{10},\\
V&=\sqrt{\frac{3689+241\sqrt{241}}{18}}\approx20.317,
\endled\]
与我书上的结果一致。

（以上计算当然都是开挂的了……

TTAANN001

kuing 发表于 2022-8-12 17:40
所以说这个问题一般是没简单解的，即便是平面上的（5#）都涉三次方程。

设 `\triangle ABC` 面积为 `S` ...

如图所示（先借个图 ），$a=2,b=3,c=4,d=5$，不难发现：$H$和$E$分别是$\Delta A D C$和$\Delta A B C$的垂心。先看$\Delta A D C$，$HF\perp  AD$。设$EF=t$，则有：
        $$\frac{t}{w}=\frac{d+w}{\sqrt{a^2-w^2}}$$
        $$t=\frac{(5+w)w}{\sqrt{4-w^2}}$$
       
        同理，在$\Delta A B C$有：
        $$\frac{\sqrt{z^2-t^2}}{t}=\frac{x+t}{\sqrt{y^2-t^2}}$$
       
        化简得：$$2xt^3+(x^2+y^2+z^2)t^2=y^2+z^2$$
       
        将$\left\{\begin{matrix}
                x=\sqrt{2^{2}-x^{2}} \\
                y=\sqrt{3^{2}-x^{2}}\\
                z=\sqrt{4^{2}-x^{2}}\\
                t=\displaystyle\frac{(5+w)w}{\sqrt{4-w^2}}
        \end{matrix}\right.$代入：

        $$(16-w^2)(9-w^2)=2\sqrt{4-w^2}t^3+(29-3w^2)t^2$$
        $$(16-w^2)(9-w^2)(4-w^2)=2(5+w)^3w^3+(29-3w^2)(5+w)^2w^2$$
        $$25w^4+180w^3+323w^2-192=0$$
       
        解得：$$w=\frac{\sqrt{241}-9}{10}$$
       
        再反代回去：$$V\approx20.317$$

TTAANN001

TTAANN001 发表于 2022-8-14 09:50
如图所示（先借个图 ），$a=2,b=3,c=4,d=5$，不难发现：$H$和$E$分别是$\Delta A D C$和$\Delta A ...

但不管怎么样做，最后都要解高次方程，难顶啊，就没有可以不解高次方程得方法啊

kuing

TTAANN001 发表于 2022-8-14 09:52
但不管怎么样做，最后都要解高次方程，难顶啊，就没有可以不解高次方程得方法啊 ...

这就是我常说的“难度守恒定律”啊

2345这组数恰好让方程能解已经是极其幸运了