用二刻尺作倍立方

hbghlyj

zh.wikipedia.org/wiki/二刻尺作圖

二刻尺是上面有二個刻度的直尺。 如圖，有兩條線l、m和點P。可以將尺與點P對齊，並讓其中一個刻度保持在l（圖中黃點）上，慢慢轉動尺 (允許尺貼著P滑動)，直到另一個刻度碰到m（圖中藍點），此線即為所求（圖中深藍色線）。

用二刻尺作倍立方

二刻尺刻度的間距为1。
• AB=BC=CA=BD=1，且A、B、D共線。
• 將二刻尺贴著A點，並將兩刻度一個移到CD上，另一個移到BC上，分別稱為G點和H點。于是GH=1。
• AG的長度为$x$, 求證$x=\sqrt[3]{2}$。

證明

在Rt△ACG中$CG=\sqrt{x^2-1}$
对△ACG和CH用分角定理,$$\frac{AH}{GH}=\frac{AC\sin120°}{CG\sin30°}$$即$$\frac{x+1}{1}=\frac{\sqrt3}{\sqrt{x^2-1}}$$即$$(x + 1)^2 (x^2 - 1) - 3=0$$因式分解,$$(x+2) \left(x^3-2\right)=0$$所以$x=\sqrt[3]2$.

hbghlyj

en.wikipedia.org/wiki/Neusis_construction
Regular Polygons
In 2002, A. Baragar that showed that every point constructible with marked ruler and compass lies in a tower of fields over $\Bbb Q$,$$ \Bbb Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K$$such that the degree of the extension at each step is no higher than 6. Of all prime-power polygons below the 100-gon, this is enough to show that the regular 23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, and 89-gons cannot be constructed with neusis. (If a regular $p$-gon is constructible, then $\zeta_p = e^\frac{2\pi i}{p}$ is constructible, and in these cases $p−1$ has a prime factor higher than 5.)