三次方程有两根的模长相等的条件

hbghlyj

When does a cubic equation has two roots with same absolute values
复系数三次方程$z^3+bz^2+cz+d=0$的复根为$z_1,z_2,z_3$, 若$|z_1|=|z_2|$, 求$b,c,d$需满足的条件

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(搬运)
若$|z_1| = |z_2|$, 则可以写 $z_1 = u e^{i\theta}$, $z_2 = u e^{-i\theta}$, 其中 $\theta\in\Bbb R,u\in\Bbb C$. 方程化为
$$(z - u e^{i\theta})(z - u e^{-i\theta})(z - z_3)= (z^2 - 2 u \cos\theta + u^2)(z - z_3)$$
展开得
$$ \eqalign{b &= -2 u \cos\theta - z_3\cr
            c &= 2 u z_3 \cos\theta +u^2\cr
            d &= -u^2 z_3\cr} $$
消去复参数$u$和$z_3$得一个关于$b,c,d$和$\cos\theta$的方程:
$$ 64\,{d}^{2}  \cos^6\theta -16\,d
\left( bc+3\,d \right)  \cos^4 \theta+ 4\, \left( {b}^{3}d-bcd+{c}^{3}+3\,{d}^{2} \right)   \cos^2\theta -(bc - d)^2 = 0
$$
记$\cos^2\theta = v$, 则上式是关于$v$的三次方程, 所求的$b,c,d$需满足的条件就是这个三次方程在实区间 $[0,1]$ 有解的条件.

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hbghlyj 发表于 2022-8-13 02:08
若$|z_1| = |z_2|$, 则可以写 $z_1 = u e^{i\theta}$, $z_2 = u e^{-i\theta}$, 其中 $\theta\in\Bbb R,u\i ...

“三次方程在实区间 $[0,1]$ 有解的条件”是一个不等式, 而原题$|z_1|=|z_2|$是一个等式, 所以它是“两根模长相等”的必要不充分条件.
“两根模长相等”的充要条件是什么呢?