$y=\sqrt{1-\cos x}+\sqrt{1-\sin x}$ 最值——思考的乐趣

isee

源自知乎提问


前言：刚开始只是想用根式的非负性放缩，出错，又折腾去掉根式，今天又联想到根式下是可以配方处理的，于是乎再有更新最小值的解法



题：如何求 $y=\sqrt{1-\cos x}+\sqrt{1-\sin x}$ 最值？



（最小值又有更新， 在回答之末，向下拉）


函数 $f(x)=\sqrt{1-\cos x}+\sqrt{1-\sin x}$ 有周期为 $2\pi$，又由 $f(\pi/2-x)=f(x)$ 知 $f(x)$ 有对称轴 $x=\frac \pi4,$ 于是考查关于 $x=\frac \pi4$的对称区间 $x\in [-3\pi/4,5\pi/4]$ 时，对称轴的一侧的最值即可.

而 $f(x)$ 在 $x\in [0,\pi/4]$ 时，受 新之韧 的回答启发，化为半角干掉根式，即有

\begin{align*}
y&=\sqrt{1-\cos x}+\sqrt{1-\sin x}\\[1ex]
&=\sqrt 2 \left|{\sin\frac x2}\right|+\sqrt 2\left|{\sin\left(\frac \pi4-\frac x2\right)}\right|\\[1ex]
&\geqslant \sqrt2 \left(\sin\frac x2+\sin\big(\frac \pi4-\frac x2\big)\right)\\[1ex]
&=\sqrt 2\cdot 2\sin \frac\pi8\cos\big(\frac \pi8-\frac x2\big)\\[1ex]
&\geqslant\sqrt 2\cdot 2\sin\frac\pi8\cos\frac\pi8\\[1ex]
&=1.
\end{align*}

而在 $x\in [-3\pi/4,0)$ 时， $\sin x<0$ ，则由根式的非负性有

\begin{align*}
y&=\sqrt{1-\cos x}+\sqrt{1-\sin x}\\[1ex]  &>0+\sqrt{1-\sin x}\\[1ex] &>1 \end{align*}

综上知，即求式的最小值为 $y_{\min}=1.$

由柯西不等式求最大值，有

\begin{align*}
&\quad\;(1+1)\big(1-\cos x+1-\sin x)\\[1ex] &\geqslant \big(\sqrt{1-\cos x}+\sqrt{1-\sin x}\big)^2\\[1ex] \Rightarrow y^2&\leqslant 4-2\sqrt 2\sin\left(x+\frac \pi4\right)\\[1ex]  &\leqslant 4+2\sqrt 2.
\end{align*}

两次等号成立时，(存在) $x=\frac{5\pi}4$.

即 $y_{\max}=\sqrt{4+2\sqrt 2}.$



（拉得辛苦了）（再次更新最小值不等式求法）


\begin{align*}
{\color{blue}{\sqrt 2y}}&=\sqrt{2-2\cos x}+\sqrt{2-2\sin x}\\[1ex]
&=\sqrt{(1-\cos x)^2+\sin^2x}+\sqrt{\cos^2x+(1-\sin x)^2}\\[1ex]
&\geqslant \sqrt{(1-\cos x+\cos x)^2+(\sin x+1-\sin x)^2}\\[1ex]
&=\sqrt 2\\[1em] \Rightarrow y&\geqslant 1.
\end{align*}


（这个不等式叫柯西不等式三角形式，还有个名字叫闵什么什么的，总是记不住，罪过罪过~

取“ $=$ ”时， $\frac {1-\cos x}{\cos x}=\frac{\sin x}{1-\sin x}$ ，即 $\sin x+\cos x=1$ ，（存在） $x=0.$

综上，有 $1\leqslant y\leqslant \sqrt{4+2\sqrt 2}.$

终得最小值较顺的求法~

kuing

其实你开头那个证法可以稍微改进一下，就不用分类和说那么多周期啊对称轴啥的。

首先
\[f(x)\geqslant\sqrt{1-\abs{\cos x}}+\sqrt{1-\abs{\sin x}}=g(x),\]
然后求 `g(x)` 的最小值，而对 `g(x)` 来说显然只需考虑 `x\in[0,\pi/2]`，此时直接有
\[g(x)=\sqrt2\sin\frac x2+\sqrt2\sin\left( \frac\pi4-\frac x2 \right)=\sqrt2\cdot2\sin\frac\pi8\cos\left( \frac\pi8-\frac x2 \right),\]
而 `\pi/8-x/2\in[-\pi/8,\pi/8]`，所以就得到 `g(x)\geqslant1`，最后说一句 `f(0)=1` 能取等，就成了。

当然，无论如何也不及你闵可夫斯基那么爽

isee

kuing 发表于 2022-8-15 01:13
其实你开头那个证法可以稍微改进一下，就不用分类和说那么多周期啊对称轴啥的。

首先

是哦，先加绝对值，学习了！