$\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\geqslant\sqrt{3}$.

Tesla35

设$a,b,c>0$,且满足$3\max\{a^2,b^2,c^2\}\leqslant2(a^2+b^2+c^2)$,证明:$\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\geqslant\sqrt{3}$.

kuing

条件看似吓人，其实只是为了确保根号下非负，并无其他实际用途……

由 holder 有
\[\sum a(2b^2+2c^2-a^2)\left( \sum\frac a{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}} \right)^2\geqslant(a+b+c)^3,\]
所以只需证
\[(a+b+c)^3\geqslant3\sum a(2b^2+2c^2-a^2),\]
展开配方为
\[\sum(a+b)(a-b)^2+2\sum a(a-b)(a-c)\geqslant0.\]

Tesla35

kuing 发表于 2022-8-15 14:08
条件看似吓人，其实只是为了确保根号下非负，并无其他实际用途……

由 holder 有

超出我的能力范围了