$x^2+2y^2+3z^2\geqslant k(xy+yz+zx)$

Tesla35

(2018年安徽省预赛)(22分)(1)求证:对于任意实数$x,y,z$都有
$$x^2+2y^2+3z^2\geqslant\sqrt{3}(xy+yz+zx).$$
(2)是否存在实数$k>\sqrt{3}$,使得对于任意实数$x,y,z$有
$$x^2+2y^2+3z^2\geqslant k(xy+yz+zx)$$
恒成立?试证明你的结论.


第二问$k=2$可以吗？
为什么wolframalpha说这时值域是$\mathbf{R}$,而答案说可以

kuing

（2）作置换 `y\to y/\sqrt2`, `z\to z/\sqrt3`，不等式化为
\[x^2+y^2+z^2\geqslant2\left( \frac k{2\sqrt2}xy+\frac k{2\sqrt6}yz+\frac k{2\sqrt3}zx \right),\]
根据 forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=5263&pid=26005 （9#）的结论，`k` 需满足 `\abs k\leqslant2\sqrt2` 且
\[\left( \frac k{2\sqrt2} \right)^2+\left( \frac k{2\sqrt6} \right)^2+\left( \frac k{2\sqrt3} \right)^2+2\cdot\frac k{2\sqrt2}\cdot\frac k{2\sqrt6}\cdot\frac k{2\sqrt3}\leqslant1,\]
上式化简为
\[6k^2+k^3\leqslant24,\quad(*)\]
如果把 `\sqrt3` 代入式 (*) 左边为 `18+3\sqrt3<18+3\times2=24`，这说明 `k=\sqrt3` 满足，但它不是 `6k^2+k^3=24` 的根，这说明一定存在大于 `\sqrt3` 的 `k` 也满足式 (*)。

事实上，式 (*) 解得
\[-2+4\cos\frac{5\pi}9\leqslant k\leqslant-2+4\cos\frac\pi9,\]
近似值为 `-2.69459\leqslant k\leqslant1.75877`。

Tesla35

kuing 发表于 2022-8-17 18:41
（2）作置换 `y\to y/\sqrt2`, `z\to z/\sqrt3`，不等式化为
\[x^2+y^2+z^2\geqslant2\left( \frac k{2\sqr ...

确实是这个结果。原来我查的有一个答案写错了