如何证明函数$W(x)$在定义域单调递增？能求它的值域吗

其妙

如何证明函数$W(x) = \dfrac{{\ln ({{\rm{e}}^x} - 1) - \ln x}}{x}$在定义域单调递增？？能求函数$W(x)$的值域吗？

色k

题目就一行都不愿意码代码吗？你又不是不会

其妙

色k 发表于 2022-8-18 19:32
题目就一行都不愿意码代码吗？你又不是不会

已经修改成代码了，删掉图片了

kuing

没什么特别的方法，就是常规的求导再求导……

定义域 `x>0`，求导有
\[w'(x)=\frac1{x^2}\left( \frac{e^xx}{e^x-1}-1-\ln(e^x-1)+\ln x \right),\]
令
\[g(x)=\frac{e^xx}{e^x-1}-1-\ln(e^x-1)+\ln x,\]
再求导化简得
\[g'(x)=\frac{(e^x-1)^2-e^xx^2}{(e^x-1)^2x}=\frac{(e^{x/2}-e^{-x/2})^2-x^2}{e^x(e^x-1)^2x},\]
易证 `x>0` 时 `e^{x/2}-e^{-x/2}>x`，所以 `g'(x)>0`，易证 `x\to0^+` 时 `g(x)\to0`，所以 `g(x)>0`，即 `w'(x)>0`。

值域就求极限咯，显然 `x\to+\infty` 时 `w(x)\to1`，当 `x\to0^+` 时
\[w(x)=\frac1x\ln\frac{e^x-1}x=\frac1x\ln\frac{x+\frac12x^2+o(x^2)}x=\frac1x\ln\left( 1+\frac12x+o(x) \right),\]
而 `\ln\left( 1+\frac12x+o(x) \right)\sim\frac12x+o(x)`，所以
\[\lim_{x\to0^+}w(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\frac12x+o(x)}x=\frac12,\]
所以值域就是 `(1/2,1)`。

其妙

kuing 发表于 2022-8-19 15:23
没什么特别的方法，就是常规的求导再求导……

定义域 `x>0`，求导有

色k

这个函数有什么背景吗？

isee

色k 发表于 2022-8-20 12:35
这个函数有什么背景吗？

我还以为是 Lambert W Function 呢，写成 W(x)

色k

isee 发表于 2022-8-20 23:19
我还以为是 Lambert W Function 呢，写成 W(x)

我初看标题时也这样想，记得之前战巡介绍过W函数
（所以我写4#时也把W改成了小写）

其妙

色k 发表于 2022-8-20 12:35
这个函数有什么背景吗？

背景之一是证明第（5）问的一种证法

其妙

kuing

其妙 发表于 2022-8-22 22:53

嗯，这个过程就没像我那样发现 `h'(t)` 可以进一步变成
\[h'(t)=\frac{(e^{t/2}-e^{-t/2})^2-t^2}{e^{-t}(e^t-1)^2t}\]