一道函数不等式

aishuxue

求证: $e^{x-3}>x \ln x-x$.

aishuxue

不知道如何通过放缩证明!

kuing

挺弱的呀感觉，当 `x\leqslant1` 时显然成立，当 `x>1` 时，由 `e^x>1+x` 有
\[\LHS=(e^{x/2-3/2})^2\geqslant\left( 1+\frac x2-\frac32 \right)^2=\frac14(x-1)^2,\]
另一方面由 `\ln x<\frac{x-1}{\sqrt x}` 得
\[\RHS<\sqrt x(x-1)-x,\]
所以只需证
\[\frac14(x-1)^2\geqslant\sqrt x(x-1)-x,\]
令 `\sqrt x=1+t`，上式恰好是个完全平方
\[\frac14(t^2-2)^2\geqslant0.\]

aishuxue

借助几何画板的辅助, 我是证明$e^{x-3}>\dfrac{3}{100}x^3>x\ln x-x$.

kuing

也可以不放缩右边，对左边再放一点：
\[\LHS=(e^{x/2-3/2})^2\geqslant\left( 1+\frac x2-\frac32 \right)^2=\frac14(x-1)^2>\frac14(x^2-2x),\]
所以只需证
\[\frac14(x-2)>\ln x-1,\]
即
\[x+2-4\ln x>0,\]
求导知 `x=4` 时左边取最小值 `6-8\ln2>0`，即得证。

其妙

$\dfrac{{{e^{x - 3}}}}{{{x^3}}} = \dfrac{1}{{{e^3}}}{(\dfrac{{{e^{\dfrac{x}{3}}}}}{x})^3} \ge \dfrac{1}{{{e^3}}}{(\dfrac{e}{3})^3} = \dfrac{1}{{27}}$，

$\dfrac{{\ln x - 1}}{{{x^2}}} = \dfrac{{2\ln \dfrac{x}{e}}}{{2{x^2}}} = \dfrac{{\ln {t^2}}}{{2{e^2}{t^2}}}\le \dfrac{1}{{2{e^2}}}\dfrac{1}{e} = \dfrac{1}{{2{e^3}}}$，其中$ x=et$，

$\dfrac{1}{{27}} > \dfrac{1}{{2{e^3}}} \Leftrightarrow 2{e^3} > 27 \Leftrightarrow {e^3} > {2.7^3} = 19.683> \dfrac{{27}}{2}$，显然成立。

所以，$e^{x-3}>x \ln x-x$

aishuxue

谢谢各位高手, 学习了！

kuing

其妙 发表于 2022-8-22 22:25
$\dfrac{{{e^{x - 3}}}}{{{x^3}}} = \dfrac{1}{{{e^3}}}{(\dfrac{{{e^{\dfrac{x}{3}}}}}{x})^3} \ge $ ...

不要滥用 \dfrac ，上下标里的分式不应该用，太大了