三个平方数成等差数列

hbghlyj

mathematics-pdf.com/pdf/congruent_number.pdf
en.wikipedia.org/wiki/Congruent_number
homepages.warwick.ac.uk/~masfaw/congruent.pdf
如果一个“边长为有理数的直角三角形”的面积为整数，就称这个整数为同余数（英文: congruent number ; 日文: 合同数）。例如边长为(3,4,5)的直角三角形的面积为6，故6为同余数，同样地，边长为(20/3, 3/2, 41/6)的直角三角形的面积为5，故5为同余数。
≤ 120 的同余数为
5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120 (见oeis.org/A003273)
确定给定有理数是否为同余数的问题称为同余数问题。 这个问题（截至 2019 年）尚未成功解决。

hbghlyj

aimath.org/news/congruentnumbers/modulo.html
如果整数 $a$ 和 $b$ 的差是 $n$ 的倍数，我们就说整数 $a$ 和 $b$ 模 $n$ 同余。

将有理边的直角三角形的面积称为“同余数”可能会令人困惑，因为这与“同余”的标准用法几乎无关。如果该术语是今天发明的，我们会称它为别的东西。甚至数学家也感到困惑：“5 是同余数”这句话引发了“与什么同余”的反应。

但是有一种方式可以使这些术语相关联，我们现在解释一下。

如果$n$是一个同余数，即如果它是一个有理边的直角三角形的面积，那么存在一个有理平方数 $a^2$，使得$a^2-n$和$a^2+n$也是平方数。

为了理解这一点，假设 $x$、$y$、$z$ 是面积为 $n$ 的直角三角形的有理边。 从勾股定理知 $x^2 + y^2 = z^2$，从面积条件知 $xy = 2n$。这说明$$(x+y)^2 = x^2 + 2xy +y^2 = z^2 + 4n\quad\text{ 和 }\quad(x-y)^2 = x^2 - 2xy +y^2 = z^2 - 4n. $$令 $a^2 = z^2/4$ 那么 $a^2 + n = (x+y)^2/4$ 和 $a^2 - n = (x-y)^2/4$。

我们发现三个有理平方数 $a^2 - n$、$a^2$、$a^2 + n$ 模 $n$ 同余，并且成等差数列，公差为 $n$。

反之，如果有三个形如 $a^2 - n$、$a^2$、$a^2 + n$ 的平方数，那么就有一个相应的有理边直角三角形，其面积为 $n$ : 只需令$$z = 2a,\quad    x = \sqrt{a^2 + n} + \sqrt{a^2 - n },\quad y = \sqrt{a^2 + n} - \sqrt{a^2 - n }.$$