初学者,简单的题目,求不等式做法

math505

$\mathbb R_+:a+b=1,$求$\dfrac{1}{ab}+ab$的最小值.
很容易根据函数的单调性来求解,但是我想问问不等式方法.

kuing

\begin{align*}
\frac1{ab}+ab&=\frac{15}{16ab}+\frac1{16ab}+ab\\
&\geqslant\frac{15}{4(a+b)^2}+2\sqrt{\frac1{16ab}\cdot ab}\\
&=\frac{17}4.
\end{align*}

isee

很久没非等分拆了，学个样儿，如楼上

\begin{align*}
ab+\frac {a+b}{ab}&=ab+\frac 1a+\frac 1b\\[1ex]
&=\left(ab+\frac1{8a}+\frac 1{8b}\right)+\frac 78\left(\frac 1a+\frac 1b\right)\\[1ex]
&\geqslant 3\sqrt[3]{ab\cdot \frac 1{8a}\cdot \frac 1{8b}}+\frac 78\cdot \frac 4{a+b}\\[1ex]
&=\frac {17}4.
\end{align*}

PS：所用均值不等式\[a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc},~\frac {a+b}2\geqslant \frac 2{\frac 1a+\frac 1b}.\]

math505

谢谢大佬!想问问思路是啥?

isee

math505 发表于 2022-9-9 23:56
谢谢大佬!想问问思路是啥?

凑定值，凑取等，再如，通常凑个齐次式

\begin{align*}
&\quad \,\, ab+\frac {(a+b)^2}{ab}\\[1ex]
&=ab+\frac ab+\frac ba+2\\[1ex]
(\small\text{凑取等})&=\left(\frac {ab}2+\frac b{8a}\right)+\left(\frac {ab}2+\frac a{8b}\right)+\frac 78\left(\frac ba+\frac ab\right)+2\\[1ex]
&\geqslant 2\sqrt {\frac {ab}2\cdot \frac b{8a}}+2\sqrt {\frac {ab}2\cdot \frac a{8b}}+\frac 78\cdot 2+2\\[1ex]
&=\frac b2+\frac a2+\frac {15}4\\[1ex]
&=\frac {17}4.
\end{align*}

这些都需要时间，把凑定值弄熟，先.

PS：原来字母前首行对齐的是空格总距离是 \quad\,\,

楼主练习一下：$x\geqslant 4$，求$x+\dfrac 1{x-2}$的最小值.

math505

isee 发表于 2022-9-10 00:03
凑定值，凑取等，再如，通常凑个齐次式

\begin{align*}

$=\dfrac{1}{4}(x-2)+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{3}{4}(x-2)+2 \ge \dfrac{9}{2}$

力工

大佬们的技法太强，只会玩最基本的做法。
诚惶诚恐地写一个。
由基本不等得$0<ab\leqslant \frac{1}{4}$
又$ab+\frac{1}{ab}$在$(0,\frac{1}{4})$上递减，
因此，$ab+\frac{1}{ab}\geqslant 4+\frac{1}{4}$

math505

这种是否可以均值?
求$\sqrt{x}+\sqrt{20-4x}$最小值

isee

math505 发表于 2022-9-10 20:00
这种是否可以均值?
求$\sqrt{x}+\sqrt{20-4x}$最小值

开新帖吧，求最小值用均值不等式，实在是太难了（至少对我是的）

math505

强行均值可能意义不大?

kuing

math505 发表于 2022-9-10 20:00
这种是否可以均值?
求$\sqrt{x}+\sqrt{20-4x}$最小值

上凸函数在端点取最小，比较两端知 x=5 更小，再写成装 X 解法：
$\sqrt x+\sqrt{20-4x}\geqslant\sqrt x+\sqrt{5-x}\geqslant\sqrt{x+5-x}=\sqrt5$。

isee

kuing 发表于 2022-9-11 00:24
上凸函数在端点取最小，比较两端知 x=5 更小，再写成装 X 解法：
$\sqrt x+\sqrt{20-4x}\geqslant\sqrt x ...

上凸怕是要求导吧？还是两上凸函数之和还是上凸的?

nttz

isee 发表于 2022-9-10 00:03
凑定值，凑取等，再如，通常凑个齐次式

\begin{align*}

能不能详细说下如何凑定值，凑取等，目标是啥？

isee

nttz 发表于 2022-9-16 09:28
能不能详细说下如何凑定值，凑取等，目标是啥？

首先，都没有写取等号的条件，那基本上是就是先保证能取=,(每个均值不等式都是以相等来凑的)，其次，要凑出定值(要么是消失未知数，要么以未知数(的式子)表示)

nttz

isee 发表于 2022-9-16 16:34
首先，都没有写取等号的条件，那基本上是就是先保证能取=,(每个均值不等式都是以相等来凑的)，其次，要凑 ...

可是如何保证取=呢？猜测的么，有了取等才能进一步去凑吧

math505

nttz 发表于 2022-9-16 16:53
可是如何保证取=呢？猜测的么，有了取等才能进一步去凑吧

如果不好猜,我的方法是单调性

hbghlyj

整理笔记:
Wikipedia:上凸函数是指图像上方的点的集合为凸集的函数。
$\sqrt x$是下凸函数.
$\sqrt{20-4x}=2\sqrt{5-x}$,而$\sqrt{5-x}$是将$\sqrt x$的图像关于竖直轴$x=5/2$对称,所以也是下凸函数.
两个下凸函数之和是下凸函数,所以$\sqrt x+\sqrt{20-4x}$是下凸函数.