简单不等式问题

reny

已知$a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,$求证$a>0,b>0,c>0.$
有木有很巧妙的证法？

kuing

一般情况也证成立，证明见：www.irgoc.org/viewtopic.php?p=708#p708

reny

回复 2# kuing
谢xie！

realnumber

反证法也快的，假设ab<=0,c<=0,那么由ab+c(a+b)>0得到a+b<0,这与a+b+c>0矛盾

其妙

反证法也快的，假设ab
realnumber 发表于 2013-11-19 20:51

修改为：反证法也快的，假设c<0,则ab<0,那么由ab+c(a+b)>0得到a+b<0,这与a+b+c>0矛盾

aipotuo

令$f(x)=(x+a)(x+b)(x+c)$,
则$f(x)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc$.
所以当$x\geq 0$时,$f(x)>0$恒成立.
所以$-a,-b,-c<0$.

爪机专用

回复 6# aipotuo
二楼链接里就是这个方法

aipotuo

回复 7# 爪机专用

kuing

回复 8# aipotuo

噢……原来那网站又挂了，不知啥时候挂的，之前还能看的……算了，不管了……