三角形内判断正误

guanmo1

判断正误：已知 △ABC 满足 tanAtanB=tan(A+B)，则 {x|x=sinC}=(0,1)

kuing

易证：若 `x`, `y\in(0,\pi)` 满足 `\tan x\tan y<0` 且 `\tan x+\tan y<0`，则 `x+y<\pi`。

记 `p=\tan A+\tan B`, `q=\tan A\tan B`，条件即为 `q=p/(1-q)`。

对于任意 `q<0` 都存在 `p` 满足 `p^2\geqslant4q` 且 `p=q(1-q)<0`，根据上述结论知相应的三角形存在，所以 `q` 可以取遍所有负数。

于是 `\sin C=\sqrt{\frac{\tan^2(A+B)}{1+\tan^2(A+B)}}=\sqrt{\frac{q^2}{1+q^2}}` 便可取遍 `(0,1)`。

guanmo1

kuing 发表于 2022-9-18 15:25
易证：若 `x`, `y\in(0,\pi)` 满足 `\tan x\tan y