证明$f\mapsto f'$是连续线性泛函

hbghlyj

$C[a,b]$ 表示（具有 sup 度量的） $[a,b]$ 上的连续实值函数的空间,
$C^1[a,b]$ 表示（具有 $f\mapsto \|f\| + \|f'\|$ 度量的） $[a,b]$ 上的连续可导实值函数的空间,
证明 $f(x) \mapsto f'(x)$ 是 $C[a,b]\to C^1[a,b]$ 的连续函数.

来自原回答的最后一句话

If you make the $\mathcal{C}^1$ norm $f\mapsto \|f\| + \|f'\|$, then differentiation is continuous in that norm.

hbghlyj

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Czhang271828

题目有误, 应该是证明
\[
\begin{align*}
\mathcal L:C^1[a,b]&\to C[a,b],\\
f&\mapsto f',
\end{align*}
\]
是连续线性泛函 (functional).

这是显然的. 记 $\|\cdot\|_0$, $\|\cdot\|_{1}$ 为 $C[a,b]$ 与 $C^1[a,b]$ 间的范数, 则
\[
\sup_{f\in C[a,b]}\dfrac{\|\mathcal L(f)\|_0}{\|f\|_1}=\sup_{f\in C[a,b]}\dfrac{\|f'\|}{\|f\|+\|f'\|}\leq 1.
\]