一个关于黎曼积分的推广问题（可能）

harryzzy

下面是我抽象出的数学问题，我不确定这是否算是黎曼积分的一种推广形式。还是说这已经是研究过的问题？
我在研究中抽象出的数学问题，已用数值模拟验证，似乎正确，
但严谨的数学证明，在这里请教大家。


此问题已有战巡版主解答了。欢迎各位大侠深入挖掘。启发小白我。

abababa

感觉像是黎曼-斯蒂尔切斯积分，当$F$连续，$G$带有界变差时极限存在，定义成积分。

harryzzy

abababa 发表于 2022-9-20 12:48
感觉像是黎曼-斯蒂尔切斯积分，当$F$连续，$G$带有界变差时极限存在，定义成积分。 ...

试问2，S是否与F积分有较明确的关系？当G满足均匀分布时，能有证明吗？
谢谢。

战巡

harryzzy 发表于 2022-9-20 14:16
试问2，S是否与F积分有较明确的关系？当G满足均匀分布时，能有证明吗？
谢谢。 ...

当已知$S$存在的情况下就很无聊了
\[S=E(S)=E\left(\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nG(u_i)F(x_i)\Delta x_i\right)\]
\[=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nE[G(u_i)]F(x_i)\Delta x_i\]
\[=E(G)\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nF(x_i)\Delta x_i\]
\[=...\]

harryzzy

战巡 发表于 2022-9-20 14:36
当已知$S$存在的情况下就很无聊了
\[S=E(S)=E\left(\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nG(u_i)F(x_i)\Delta x_ ...

你好，感谢解答。
有一问题是期望能进极限和求和符号的条件是什么？
另外我从数值模拟角度来看，只有当G满足均匀分布时，才是这个结果，其他的分布，比如正态分布，就不是这个结果了。

harryzzy

abababa 发表于 2022-9-20 12:48
感觉像是黎曼-斯蒂尔切斯积分，当$F$连续，$G$带有界变差时极限存在，定义成积分。 ...

你好，我刚学习了一下有界变差函数。以及黎曼-斯蒂尔切斯积分。
但我这里在做数值模拟时用的函数G应不是有界变差函数，极限也是存在的。
我取的G函数就是让每个G(ui)按均匀分布随机取值。这样形成的函数好像不是有界变差函数，但极限也是存在的，并且满足试问2中的等式。

战巡

harryzzy 发表于 2022-9-20 14:40
你好，感谢解答。
有一问题是期望能进极限和求和符号的条件是什么？
另外我从数值模拟角度来看，只有当G ...

关键是你在前提中假设了$S$的存在

均匀分布下也许$S$存在，可你要胡乱换成其他分布，这事就不好说了，你得证明其存在才行

harryzzy

战巡 发表于 2022-9-20 17:31
关键是你在前提中假设了$S$的存在

均匀分布下也许$S$存在，可你要胡乱换成其他分布，这事就不好说了，你 ...

是的，这就是第一问里面的问题，什么情况下极限存在
当然G是有界变差时极限一定是存在的
但当G不是有界变差时，极限似乎有时也是存在的。
另外期望进极限和求和号的条件是什么？

战巡

harryzzy 发表于 2022-9-21 08:11
是的，这就是第一问里面的问题，什么情况下极限存在
当然G是有界变差时极限一定是存在的
但当G不是有界变 ...

期望的本质就是一种积分（求和）而已，极限存在就可以交换了

harryzzy

战巡 发表于 2022-9-21 10:53
期望的本质就是一种积分（求和）而已，极限存在就可以交换了

是这样，丛数值模拟来验证看。只有当G满足均匀分布时。才能是E(G)*F积分的形式。其他分布的话这个式子的极限是存在，但并等于E(G)*F积分的形式。
但从你证明过程来看，好像和G的分布是什么没有关系。。。

战巡

harryzzy 发表于 2022-9-22 09:15
是这样，丛数值模拟来验证看。只有当G满足均匀分布时。才能是E(G)*F积分的形式。其他分布的话这个式子的 ...

我不知道你的程序是怎么写的，反正我这没这个问题
这里测试过贝塔分布，也测试过正态，都是没问题的


你不要看这到头来差异还不小，那已经算很小的了，随机变量收敛靠的是大数定律，这个本来就很慢，而且不稳定，不要以为你$n$很大就真的能相等，只有真走到无穷大才会相等