（转）求所有正整数n，...是完全平方数

realnumber

文武光华潘成华(101``````51)  09:34:23
求所有正整数n，使得$2^{n-1}n+1$是完全平方数.

战巡

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首先当$n=1$时，这货等于$2$，显然没戏
当$n>1$时，显然那个东西是奇数，不妨设
\[2^{n-1}n+1=(2p+1)^2,p\in N^+\]
然后有
\[2^{n-3}n=p(p+1)\]
显然这里$p$和$p+1$里是一个奇数一个偶数，先设$p$为奇数好了
这样的话，必须有$p|n$，即$n=qp, q\in N^+$，因为$2^{n-3}$明摆着不会有奇数因子在里面
于是
\[2^{qp-3}q=p+1\]
\[p+1=2^{pq-3}q\ge 2^{pq-3}\ge 2^{p-3}\]
加上$p$为奇数，可得
\[p=1,3,5\]
\[2^{n-3}n=2,12,30\]
计算发现，以上通通没戏..........
令$p+1$为奇数
此时$p+1|n, n=q(p+1)$
\[2^{qp+q-3}q=p\]
\[p\ge 2^{pq+q-3}\ge 2^{p+1-3}\]，加上$p$为偶数，得
\[p=2,4\]
即
\[2^{n-3}n=6,20\]
得$n=5$
这是唯一解了