数列无穷多项

guanmo1

$a_1=2, a_{n+1}-1=\ln \left(a_n+b\right)-b$ ，数列 $\an$ 有无穷多项，求实数 $b$ 的范围．

战巡

\[a_{n+1}+b-1=\ln(a_n+b)\]
那么令$b_n=a_n+b$，就有
\[b_{n+1}-1=\ln(b_n)\le b_n-1\]
说明$b_n$无论如何都是递减的

另一方面，有当$b_n\ge 1$时，
\[b_{n+1}=\ln(b_n)+1\ge 1\]
而当$0<b_n<1$时，可就是另一回事了，此时如果还要保证$b_n>0$恒成立，就必须得让$b_n$的极限存在，且为正，而要想要$\lim_{n\to \infty}b_n$存在，就得要有
\[\lim_{n\to\infty}b_{n}-b_{n+1}=0\]
此时如果令$\Delta b_n=b_{n}-b_{n+1}$，会有$\Delta b_n>0$恒成立，那
\[\Delta b_{n+1}-\Delta b_n=b_{n+1}-b_{n+2}-(b_n-b_{n+1})\]
\[=b_{n+1}-\ln(b_{n+1})-1+b_{n+1}-e^{b_{n+1}-1}\]
\[=2b_{n+1}-\ln(b_{n+1})-e^{b_{n+1}-1}-1\]
那么令
\[f(x)=2x-\ln(x)-e^{x-1}-1\]
会有
\[f'(x)=2-\frac{1}{x}-e^{x-1}\le2-\frac{1}{x}-x\le 0\]
说明这是个恒递减的东西，当$0<b_{n+1}<1$时会有
\[f(b_{n+1})>f(1)=0\]
也就是说$\Delta b_n$还是个递增的东西，那这玩意恒正，还恒递增，它怎么可能有极限为$0$？因此这时候是肯定没戏的，你就不能让$b_n<1$

于是事情就结了，你得有$b_1=a_1+b\ge 1$