$T$是紧算子的充要条件

abababa

问题：$T$是紧算子的充要条件是：对任意有界点列$\{x_n\}\subseteq X$，点列$\{Tx_n\}$一定包含一个收敛子列。

这里的紧算子的定义是：设$X,Y$都是巴拿赫空间，$T:X\to Y$是线性算子，若对$X$中的任意有界子集$M$，$T(M)$都是$Y$中的列紧集，则称$T$是紧算子。

必要性通过紧算子的定义和列紧集的定义，就是显然的。充分性怎么证明呢？或者充分性的命题到底是不是真命题呢？定义里要求的是任意有界子集，可以是不可数的，而问题里给出的是任意有界点列，只是可数的。

abababa

弄出来了。之前想的总是从条件推结论，导致条件不满足时就不知道怎么办了。其实按定义，只要证明$T(M)$中的任意一个序列都存在收敛到$Y$的子序列。
设$M$是$X$中的任意一个有界集，再设$\{y_n\}$是$T(M)$中的任意一个序列。显然存在$x_n\in M$使得$Tx_n=y_n$，于是$\{x_n\}$是$M$中的一个序列，而$M$是有界集，所以$\{x_n\}$就是有界点列，这时就能用已知条件了，对这个有界点列$\{x_n\}$，点列$\{y_n\}=\{Tx_n\}$一定包含一个收敛子列，而$\{y_n\}$是任意的，所以$T(M)$中的任意一个序列都包含一个收敛子序列，再结合$M$是任意的，就得到$T$是紧算子。