双向的无穷等比数列

hbghlyj

Geometric series - Wikipedia
输入
Sum[a^n, {n, 0, Infinity}] + Sum[a^n, {n, -Infinity, -1}] // FullSimplify
输出
0
输入
Sum[a^n, {n, -Infinity, Infinity}]
输出
Sum::div: Sum does not converge.
改成双向的无穷数列之后不会收敛哦这是为什么呢?

hbghlyj

\[\sum _{n=0}^{k} a^n+\sum _{n=-k}^{-1} a^n=0\]
对于任何$a∈\Bbb C$和$k∈\Bbb N$成立.

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\[\sum _{n=0}^∞ a^n+\sum _{n=-∞}^{-1} a^n\]
第一项的收敛条件是$\abs a<1$
第二项的收敛条件是$\abs a>1$
所以从来都不收敛

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SumConvergence[a^n, n]
输出
Abs[a] < 1
而
SumConvergence[a^n + a^(-n), n]
输出
False