用2个点将椭圆分成2段,抛物线分成3段,双曲线分成4段

hbghlyj

与$x$轴相切于$(1,0)$,与$y$轴相切于$(0,1)$的圆锥曲线为$$x^2+k x y + y^2 - 2 x - 2 y + 1=0$$
受此帖启发,若$k=-2$,这条曲线是抛物线可以分解为三段(因为$\sqrt{x}+\sqrt{y}+1$的图象是空集,所以不算).
$$\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+1\right) \left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\right) \left(\sqrt{x}-\sqrt{y}+1\right) \left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)$$
下面考虑当$k$取其它值被$(1,0)(0,1)$两点分割成的各段曲线的方程:
若$k=2$,这条曲线是二重直线,分为三段.
若$-2<k<2$,这条曲线是椭圆,如下文的例子($k=-1$),分为两段
$$\left(x+\sqrt{(2-k)x y}+y-1\right) \left(x-\sqrt{(2-k)x y}+y-1\right)$$
若$k<-2$,这条曲线是双曲线,分为四段.
若$k>2$,这条曲线是双曲线,分为四段.

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Example. 与$x$轴,$y$轴相切的椭圆作代换$x→x^2,y→y^2$得到的曲线是两个椭圆的并集

找一个与$x$轴,$y$轴都相切的椭圆$$x^2 - x y + y^2 - 2 x - 2 y + 1=0$$

作代换$x→x^2,y→y^2$得到$$ x^4 - x^2y^2+ y^4 - 2x^2 - 2y^2+1= 0$$

是两条椭圆的并集, 且可以在$\Bbb Q[\sqrt3]$分解,

1. Factor[1-2 x^2+x^4-2 y^2-x^2 y^2+y^4,Extension->Sqrt[3]]

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$$x^4 - x^2y^2+ y^4 - 2x^2 - 2y^2+1= \left(x^2+\sqrt{3} x y+y^2-1\right) \left(x^2-\sqrt{3} x y+y^2-1\right)$$
所以原椭圆可以分解为
$$x^2 - x y + y^2 - 2 x - 2 y + 1= \left(x+\sqrt{3x y}+y-1\right) \left(x-\sqrt{3 x y}+y-1\right)$$对应着两个切点将椭圆分割成的两段:
对于$x+\sqrt{3x y}+y-1=0$有$x+y-1\le0$,所以对应着距离原点较近的左下角的那段.
对于$x-\sqrt{3x y}+y-1=0$有$x+y-1\ge0$,所以对应着距离原点较远的右上角的那段.

hbghlyj

若$k<-2$,这条曲线是双曲线,分为四段.

若$k<-2$,
\begin{align*}
f(x,y)&=(k+2) (x+y)+\sqrt{2-k}\sqrt{4-(k+2) (x-y)^2}-4\\
g(x,y)&=x-\sqrt{2-k}\sqrt{x y}+y-1\\
h(x,y)&=(k+2) (x+y)+\sqrt{2-k}\sqrt{\left((k+2)\sqrt{xy}+\sqrt{2-k}\right)^2}-4
\end{align*}
如图所示(图中为$k=-4$情形),$f(x,y)=0$的图象为$g(x,y)=0$的图象与$h(x,y)=0$的图象的并集.

$f(x,y)=0$的图象(双曲线的一支)	$g(x,y)=0$的图象	$h(x,y)=0$的图象

但是$f(x,y)\ne g(x,y)\cdot h(x,y)$
能否把$f(x,y)$分解成两个因式$p(x,y)$、$q(x,y)$的乘积, 使得$p(x,y)=0,q(x,y)=0$的图象分别和$g(x,y)=0,h(x,y)=0$一样呢?