反映椭圆的对称性的一个证明题

力工

已知点$P$为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上的任意一点，弦$PA,PB$与横轴的交点$M(-t,0),N(t,0)$相异于椭圆的左右顶点。若椭圆在点$A,B$处的切线交于点$Q$，证明：点$P,Q$的横坐标互为相反数。
此题直接计算很麻烦，大佬的金手伸伸，解解我的难处。

Ly-lie

设左右的交点为$M,N$,延长$ PO $交椭圆于$P'$,再作$PR\px x$轴交椭圆于$ R $,有$ P',R  $的横坐标都与$ P $成相反数,故只需$ P',R,Q $共线.
因为$ PN,PM,PO,PR $为调和线束,则$ ARBP' $为调和四边形,于是有$ P',R,Q $共线.

Ly-lie

设左右的交点为$M,N$,延长$ PO $交椭圆于$P'$,再作$PR\px x$轴交椭圆于$ R $,有$ P',R  $的横坐标都与$ P $成相反数,故只需$ P',R,Q $共线.
因为$ PN,PM,PO,PR $为调和线束,则$ ARBP' $为调和四边形,于是有$ P',R,Q $共线.