令 $T$ 为拓扑空间，$f$ 为从 $T$ 到 $[0,\infty)$ 的连续函数，令 $\{f_k\}_{k=0}^\infty$ 为从 $T$ 到 $[0,\infty)$ 的连续函数序列，使得对于所有 $x \in T$，$\sum_{k=0}^\infty f_k (x)$ 收敛到 $f(x)$。那么这个级数在 $T$ 的紧子集上一致收敛。
Proof.
令 $X$ 是 $T$ 的一个紧子集，令 $\epsilon\in\Bbb R^+$。我们将构造一个 $X$ 的开覆盖。根据假定，级数逐点收敛，所以对于每个 $x \in X$，存在一个整数 $n_x$ 使得 $\sum_{k=n_x}^\infty f_k (x) < \epsilon / 3$。由连续性，存在 $x$ 的开邻域 $N_1$ 和 $N_2$ 使得 $|f(x) - f(y)| < \epsilon /3\;∀y \in N_1$ 和 $\left| \sum_{k=0}^{n_x} f_k (x) - \sum_{k=0}^{n_x} f_k (y) \right| < \epsilon / 3\;∀y \in N_2$。令 $N_x=N_1∩N_2$。对于每个 $y \in N_x$，我们有
\[
f(y) - \sum_{k=0}^{n_x} f_k (y) < |f(y) - f(x)| +
\left| f(x) - \sum_{k=0}^{n_x} f_k (x) \right| +
\left| \sum_{k=0}^{n_x} f_k (x) - \sum_{k=0}^{n_x} f_k (y) \right|
< \epsilon .
\]
这样，我们将每个点 $x$ 关联到一个邻域 $N_x$ 和一个整数 $n_x$。由于 $X$ 是紧致的，所以存在有限个点$x_1, \ldots x_m$ 使得$X \subseteq N_{x_1} \cup \cdots \cup N_{x_m}$。令 $n$ 是 $n_{x_1}, \ldots, n_{x_m}$ 中的最大值。然后我们有 $f(y) - \sum_{k=0}^n f_k (y) < \epsilon$ 对于所有 $y \in X$，而 $f_k\ge0$，所以 $f(y) -\sum_{k=0}^h f_k (y) < \epsilon$ 对于所有$h \ge n$，这意味着级数一致收敛。
注：这个结果也可以从 Dini 定理推导出来，因为正项级数的部分和是单调递增的。 | 
