在闭区间上$f$可积,则$|f|$可积

hbghlyj

If f is integrable, why is |f| integrable?
如果 $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$，那么我们也有 $U(|f|,P) - L(|f|,P) < \epsilon$.
因为，在每个子区间，令 $M_i=\sup f,m_i=\inf f$，则 $\sup|f|=\max(|M_i|, |m_i|)$, $\inf|f|=\min(|M_i|, |m_i|)$, 所以 $\sup|f|-\inf|f|\le\sup f-\inf f$.

直观地说，这意味着在每个子区间上，取 $f$ 的绝对值具有减小（或不改变）振幅（Oscillation）的效果，因而仍然可积。（如果取绝对值，上下达布和只能变得“更接近”，而不是更远。）

条件“在闭区间上”是必要的。这个命题对于无穷区间是不成立的，参见Absolutely convergent improper integral(EoM | Wikipedia)。

The existence of the improper integral does not guarantee its absolute convergence, as for instance is the case for the function $\sin x/x$ on $]0,∞[$.

但是反过来的“$|f|$可积,则$f$可积”总是对的.

hbghlyj

见hw5第6题

Suppose that $f$ is integrable on $[a, b]$. Show that $|f |$ is integrable on $[a, b]$.