三角形面积关系

lemondian

如图，设点$P$是$\triangle ABC$中$\angle A$内部任意一点，过点$P$的直线$l$与$AB$（或其延长线）交于点$M$，与$AC$（或其延长线）交于点$N$，且$BM=kAM,CN=tAN$，则:
(1)$S_{\triangle ABC}=(k+1)S_{\triangle APC}+(t+1)S_{\triangle APB}$;
(2)$S_{\triangle BPC}=kS_{\triangle APC}+tS_{\triangle APB}$.


请问如下证明上述命题？
显然证明了（1），则（2）是必然的！

战巡

\[\frac{S_{\Delta APC}}{S_{\Delta APN}}=\frac{AC}{AN}=t+1\]
\[\frac{S_{\Delta APB}}{S_{\Delta APM}}=\frac{AB}{AM}=k+1\]
故此
\[S_{\Delta AMN}=S_{\Delta APN}+S_{\Delta APM}=\frac{S_{\Delta APC}}{t+1}+\frac{S_{\Delta APM}}{k+1}\]
而
\[\frac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AN}{AC}=\frac{1}{(k+1)(t+1)}\]
于是
\[S_{\Delta ABC}=(k+1)(t+1)S_{\Delta AMN}=(k+1)S_{\Delta APC}+(t+1)S_{\Delta APM}\]

lemondian

战巡 发表于 2022-10-18 10:52
\[\frac{S_{\Delta APC}}{S_{\Delta APN}}=\frac{AC}{AN}=t+1\]
\[\frac{S_{\Delta APB}}{S_{\Delta APM}}= ...

谢谢！
不知能不能用向量中的“奔驰定理”来证呢？