求最值问题

lrh2006

已知m>0,n>0,$m+2n+\frac{1}{2m}+\frac{1}{n}=\frac{9}{2}$,求m+2n的最小值

kuing

提示：对 b, d>0 有
\[\frac{a^2}b+\frac{c^2}d\geqslant\frac{(a+c)^2}{b+d}\]

isee

记 $m+2n=x$，则
\begin{gather*}
\frac 92x=x^2+(m+2n)\Big(\frac 1{2m}+\frac 1n\Big)\geqslant x^2+\frac 92\\[1ex]
\Rightarrow 3/2 \leqslant x \leqslant 3.
\end{gather*}

lrh2006

isee 发表于 2022-10-24 21:45
记 $m+2n=x$，则
\begin{gather*}
\frac 92x=x^2+(m+2n)\Big(\frac 1{2m}+\frac 1n\Big)\geqslant x^2+\fra ...

我跟你想的差不多，但是答案好像不是3/2

lrh2006

isee 发表于 2022-10-24 21:45
记 $m+2n=x$，则
\begin{gather*}
\frac 92x=x^2+(m+2n)\Big(\frac 1{2m}+\frac 1n\Big)\geqslant x^2+\fra ...

我很笨的，感觉应该用柯西，权方和之类，但是你的提示还不够明显

isee

lrh2006 发表于 2022-10-24 22:40
我跟你想的差不多，但是答案好像不是3/2

此处解法是正确的，就是3/2.
================

则，要么是答案错了，要么是此处题目与原目不同。

lrh2006

lrh2006 发表于 2022-10-24 22:44
我很笨的，感觉应该用柯西，权方和之类，但是你的提示还不够明显

打开括号AM-GM?没看懂

lrh2006

isee 发表于 2022-10-24 23:10
此处解法是正确的，就是3/2.
================

嗯嗯，相信isee老师，我也觉得这样做没有问题

isee

lrh2006 发表于 2022-10-24 23:18
打开括号AM-GM?没看懂

\begin{align*}
(m+2n)\Big(\frac 1{2m}+\frac 1{n}\Big)&=\frac 12+\frac mn+\frac nm+2\\[1ex]
&=\frac 52+\frac mn+\frac nm\\[1ex]
&\geqslant \frac 52+2\sqrt {\frac nm\cdot\frac mn}\\[1ex]
&=\frac 92.
\end{align*}

“AG-GM” 就是指均值不等式

力工

我来加个戏，献个丑，这个题数据很好，直接两边加$m+2n$可以不？
$2m+\frac{1}{2m}+4n+\frac{1}{n}\geqslant 6$.

lrh2006

isee 发表于 2022-10-25 00:10
\begin{align*}
(m+2n)\Big(\frac 1{2m}+\frac 1{n}\Big)&=\frac 12+\frac mn+\frac nm+2\\[1ex]
&=\frac ...

噢噢，这个方法知道，符号不认识嘿嘿，谢谢老师

lrh2006

力工 发表于 2022-10-25 01:58
我来加个戏，献个丑，这个题数据很好，直接两边加$m+2n$可以不？
$2m+\frac{1}{2m}+4n+\frac{1}{n}\geqslan ...

嗯嗯，这样可以很快得出结果，谢谢老师