$S$是$ℝ$中稠密的开集,$S$对加法封闭,则$S=ℝ$

hbghlyj

$A⊂ℝ$ 是稠密的开集。证明$ℝ=\{x+y:x,y∈A\}$.

abababa

这个以前maven做过一般的，那个题是在$\mathbb{R}$中$A$是非空开集，$B$是稠密子集，则$\mathbb{R}=A+B$，是刚才找了下他的解答：

对任意的 x 属于 R，注意映射 f: A->R, a |-> x-a 是同构映射，所以 x-A 跟 A 一样都是非空开集，结合 B 在 R 中稠密有 B 交 (x-A) 非空，所以能选出一个 b in [B 交 (x-A)]，显然 b in B，且存在 a in A 使得 b = x-a，从而 x=a+b in A+B，由 x 的任意性有 R 包含于 A+B，但反包含是显然的，所以 R = A+B。

用在这里，令$B=A$就行了吧，这样$A$是非空开集，$B$是稠密子集。