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Rational orthogonal matrices
Everybody knows that an integral orthogonal matrix is a signed permutation matrix, so there are exactly $2^nn!$ such matrices in $O(n)$.
证明:
对$n$归纳. 当$n=1$时只有一个正交阵$[1]$. 设命题对$n-1$成立.
设$b_{ij}\in\Bbb Z,B=[b_{ij}]\in O(n)$.
每个行/列向量的模长为1，所以每行/列恰好有一个是$\pm1$，而其他所有的都是0.
设$b_{i1}=1$，则第1行、第$i$行的其他元素为0.
把$B$第1行、第$i$行去掉，得到的子阵为正交阵，由归纳假设，它是置换阵，所以$B$是置换阵.
反过来，置换阵显然都是正交阵.
证毕. |
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