$n$元多项式 值域为正实数

hbghlyj

存在一个值域为正实数的$n$元多项式，那么$n$称为“不来梅数”。
brilliant.org/problems/bremen-numbers/
首先，我们证明如果$n$是一个“不来梅数”，那么$n+1$也是一个“不来梅数”。
如果 $n$ 是“不来梅数”，则存在 $n$ 元多项式 $p(x_1,\cdots,x_n)$ 的值域为正实数。显然 $p(x_1,\cdots,x_n)+x_{n+1}^2$是一个值域为正实数的 $n+1$ 元的多项式，因此 $n+1$ 是“不来梅数”。
二元多项式$f(x,y)=x^2 +(1-xy)^2$ 恒为正（两个加数不能同时为0: 如果$x=0$则$1-xy≠0$）
对任意$a\ne0$, $f(a,1/a)=a^2$，所以$f$能取到所有正数，即$f$的值域为正实数。

hbghlyj

如何证明 1 不是不来梅数?
一元奇数次多项式的值域为$\Bbb R$. 一元偶数次多项式有最大值或最小值, 所以值域是形如$[f(a),+\infty)$或者$(-\infty,f(a)]$这样的区间,见Prove that every even degree polynomial function has a maximum or minimum in $\Bbb R$

原回答:

1 元多项式是连续的，因此紧集的像是紧集，例如$x^2$的值域是$\Bbb R^{\ge0}$。所以图像不是$\Bbb R^+$。
Extreme value theorem
states that a continuous function from a non-empty compact space to a subset of the real numbers attains a maximum and a minimum.

评论:
$\Bbb R$不是紧集, 所以不能推出值域是紧集.
单凭连续性无法证明$\Bbb R^+$不可能是一个一元多项式的值域, 比如$\exp x$的值域是$\Bbb R^+$而且是连续的, 又如$x^{-2}$的值域是$\Bbb R^+$且为连续的.