一系列结论的证明

极光永明

已知$a_i>0$（$i=1,2,\cdots,n$），对于以下$\displaystyle\sum^{n}_{i=1}a_i$的值：
1) $n^2$
2) $2^n$
3) $n^n$
4) $n^{n^{n^{\dots}}}$ (for $n$ times)
在$\displaystyle\prod_{i=1}^{n}a_i<n$的条件下，分别证明或证伪：至少存在一个$a_i<1$.
原题是$2n$，但以上命题也应该是正确的.

色k

其实很简单。

命题：给定 `n\geqslant2`，设 `a_i>0`（`1\leqslant i\leqslant n`）满足 `a_1+a_2+\cdots+a_n\geqslant2n-1` 且 `a_1a_2\cdots a_n<n`，则至少存在一个 `a_i<1`。

证明：假设所有 `a_i` 都不小于 `1`，可令 `a_i=1+b_i`, `b_i\geqslant0`，代入第一个条件中得 `b_1+b_2+\cdots+b_n\geqslant n-1`，那么
\begin{align*}
a_1a_2\cdots a_n&=(1+b_1)(1+b_2)\cdots(1+b_n)\\
&\geqslant1+b_1+b_2+\cdots+b_n\\
&\geqslant n
\end{align*}
与第二个条件矛盾，命题获证。

这样一来，原题以及楼主所列的四种情况都包含在上述命题中。

hbghlyj

Ineq with sum of k integers equals production of k integers

kuing

仅 `a_i>0` 而没要求整数吗？（因为你在主题分类选了 [数论] 故有此怀疑）
后面的 `\displaystyle\prod_{i=1}^{n}<n` 是啥意思，是否缺了 `a_i`？

极光永明

kuing 发表于 2022-10-31 23:28
仅 `a_i>0` 而没要求整数吗？（因为你在主题分类选了 [数论] 故有此怀疑）
后面的 `\displaystyle\prod_{i= ...

1. 没有要求整数，我第一次来这个论坛，不知道可以不选主题，所以就选了一个搭了一点点边的主题，引起了误解，不好意思！
2. 是漏了$a_i$，已修改。

战巡

你这题目写的也太不清晰，你的意思是指$a_n=n^2$、$a_n=2^n$那些求和？

如果是这样，前两个没啥难度
\[\sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\]
以及
\[\sum_{k=1}^n 2^n=2^{n+1}-2\]
这都是众所周知的结论
后面两个没有初等表达式，别折腾了

至于第二个问题，改完之后还是题意不清，你这个$n$到底是给定的，还是对任意$n$都要成立？

kuing

战巡 发表于 2022-11-1 16:10
你这题目写的也太不清晰，你的意思是指$a_n=n^2$、$a_n=2^n$那些求和？

如果是这样，前两个没啥难度

我猜不是这意思，`a_i` 是变量，`n` 是给定的。

应该是 `\displaystyle\sum^{n}_{i=1}a_i=n^2`、`\displaystyle\sum^{n}_{i=1}a_i=2^n` 等，然后满足 `\displaystyle\prod_{i=1}^{n}a_i<n`，证明（或证伪）存在小于 1 的 `a_i`。

战巡

kuing 发表于 2022-11-1 16:27
我猜不是这意思，`a_i` 是变量，`n` 是给定的。

应该是 `\displaystyle\sum^{n}_{i=1}a_i=n^2`、`\displ ...

............

话说论坛的草稿版咋挂了？

kuing

战巡 发表于 2022-11-1 17:15
............

话说论坛的草稿版咋挂了？

？不就在下面嘛？
可能是你浏览器的去广告插件把草稿本屏蔽掉了，设置一下白名单可能有用

色k

照上述证明来看，主题分类选 [不等式] 较为合适。

kuing

第一次使用回帖置顶功能将9#的回帖提升

hbghlyj

kuing 发表于 2022-11-3 16:58
第一次使用回帖置顶功能将9#的回帖提升

可以把置顶帖右上角图标“顶”改成“最佳回答”