拉馬努金和

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拉馬努金和
拉馬努金和（Ramanujan's sum）常標示為 $c_q(n)$，為一個帶有兩正整數變數$q$以及$n$的函數，其定義如下：
\[c_q(n)= \sum_{a=1\atop \gcd(a,q)=1}^q e^{2 \pi i \tfrac{a}{q} n},\]
下面的式子源自於定義、歐拉公式$e^{ix}= \cos x + i \sin x$以及基本三角函數恆等式：
\begin{aligned}
c_1(n) &= 1 \\
c_2(n) &= \cos n\pi \\
c_3(n) &= 2\cos \tfrac23 n\pi \\
c_4(n) &= 2\cos \tfrac12 n\pi \\
c_5(n) &= 2\cos \tfrac25 n\pi + 2\cos \tfrac45 n\pi \\
c_6(n) &= 2\cos \tfrac13 n\pi \\
c_7(n) &= 2\cos \tfrac27 n\pi + 2\cos \tfrac47 n\pi + 2\cos \tfrac67 n\pi \\
c_8(n) &= 2\cos \tfrac14 n\pi + 2\cos \tfrac34 n\pi \\
c_9(n) &= 2\cos \tfrac29 n\pi + 2\cos \tfrac49 n\pi + 2\cos \tfrac89 n\pi \\
c_{10}(n)&= 2\cos \tfrac15 n\pi + 2\cos \tfrac35 n\pi \\
\end{aligned}等等（oeis.org/A000012, oeis.org/A033999, oeis.org/A099837, oeis.org/A176742,.., oeis.org/A100051, ...）。這些式子顯示出$c_q(n)$為實數。

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More fun in 2016, Part 9
令 $s(n)$ 为所有 2016 次本原单位根 $ω$ 的 $n$ 次方之和。对于所有正整数 $n$，求 $s(n)$ 的最小值。
由于本原单位根和它的共轭复数成对出现，$s(n)$ 可以写成：
\[s(n)=2\sum_{k=1\atop\gcd(k,2016)=1}^{1007}\cos(\frac{2 \pi kn}{2016})\]
对于 $n=1008$，余弦变量是 $πk$，其中$k$为奇数。即每个$\cos$最小可能值为$-1$。总和是\[- \phi(2016)=-2^{5}(1-\frac{1}{2})3^{2}(1-\frac{1}{3})(7-1)= -576\]

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One more Ramanujan Sum
令 $c_{2015}(n)$ 为所有 2015 次本原单位根 $ω$ 的 $n$ 次方之和。对于所有正整数 $n$，求 $c_{2015}(n)$ 的最小值。

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由于拉马努金和 $c_m(n)$ 对 $m$ 是乘性函数，因此我们有 $c_{2015}(n)=c_5(n)c_{13}(n)$。 对于素数 $p$，如果 $p|n$ $c_p(n)=p-1$; 否则 $c_p(n)=-1$。 因此 $c_{2015}(n)$ 有 8 个可能的值，其最小值为 $c_{2015}(n)=(-1)\times 12 \times 30=\boxed{-360}$​ ，当 $n$ 可被 $13×31=403$ 整除但不能被 5 整除时获得。

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通过 Moebius 反演公式，我们可以写出：
$$c_{2015}(n) = \sum_{d|(2015,n)}μ(2015/d) \times d$$
$μ$ 表示莫比乌斯函数。
这意味着我们只需考虑 2015 的因数，它们是 1、5、13、31、65、155、403 和 2015。对于互质值，Ramanujan 的和为 -1。其他数的总和将由上述数字决定。
$n=403$时得到最小值： $c_{2015}(403) = -1 +13 +31 - 403 = -360$

备注：对于所有大于 2015 的数字，我们可以将乘数 $e^{2\pi i}$（等于 1）从任何 $n$ 次方根中分离出来，结果不会受到影响。