函数$f(z)=\exp (-\frac{1}{z^4})$是全纯的吗

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/291233
math.stackexchange.com/questions/2402375
$\lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}=\lim_{z\to z_{0}}\frac{\exp (-\frac{1}{z^4})}{z}$不存在.

1. Limit[Exp[-1/z^4]/z, z -> 0, Direction -> 1]
2. Limit[Exp[-1/z^4]/z, z -> 0, Direction -> -1]
3. Limit[Exp[-1/z^4]/z, z -> 0, Direction -> I]
4. Limit[Exp[-1/z^4]/z, z -> 0, Direction -> -I]
5. Limit[Exp[-1/z^4]/z, z -> 0, Direction -> 1 + I]

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可以看到, 沿着实轴/虚轴的方向极限都是0(所以满足 Cauchy-Riemann 方程), 但1+i方向是∞. 所以$f$在0不可微.
实际上, 0是$f$的本性奇点(essential singularity).

如果 $u$ 和 $v$ 是可微的（作为函数 $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$）并且 $u$ 和 $v$ 在 $z$ 点满足 Cauchy-Riemann 方程，那么 $f$ 在 $z$ 处是复可微的。仅仅假设 $f$ 连续是不够的。
然而，如果我们假设 $f$ 在开集 $U$ 上是连续的，并且 $u$ 和 $v$ 在 $U$ 上处处满足 Cauchy-Riemann方程，那么 $f$ 实际上对 $U$ 是解析的，我们不用假设 $u$ 和 $v$ 是可微的，称为 Looman-Menchoff 定理。