Difference quotient 定义为 $\Delta f(x_1,x_2)=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$
两个函数之积的差商有以下公式.
\begin{align*}\Delta(fg)(x_1,x_2)&=\Delta f(x_1,x_2)g(x_1)+\Delta g(x_1,x_2)f(x_2)\\
&=\Delta f(x_1,x_2)g(x_2)+\Delta g(x_1,x_2)f(x_1)
\end{align*}
证明其实只是一个代数恒等式,\begin{align*}\Delta(fg)(x_1,x_2)&=\frac{f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)}{x_1-x_2}\\
&=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}g(x_1)+\frac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}f(x_2)\\
&=\Delta f(x_1,x_2)g(x_1)+\Delta g(x_1,x_2)f(x_2)\end{align*}
类似可证第2个式子.
由此可以推出,三个函数之积的差商:\begin{align*}\Delta(fgh)(x_1,x_2,x_3)&=\Delta f(x_1,x_2)g(x_3)h(x_3)+\Delta g(x_1,x_2)h(x_1)f(x_3)+\Delta h(x_1,x_2)g(x_2)f(x_3)\\
&=\Delta f(x_1,x_2)g(x_3)h(x_3)+\Delta g(x_1,x_2)h(x_2)f(x_3)+\Delta h(x_1,x_2)g(x_1)f(x_3)\\
&=\cdots
\end{align*}
总共应该是有$2\times3\times3=18$个这样的等式. | 
