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西尔维斯特数列(Sylvester's sequence)$a_n=a_0a_1...a_{n-1}+ 1, a_0 = 2$.
A00058
$a_{n+1}=a_0a_1...a_{n}+ 1= (a_n-1)a_n+1=a_n^2 - a_n+ 1$,所以它是一个二次函数的迭代
2, 3, 7, 43, 1807, 3263443...
显然两个相异的西尔维斯特数必定互质。前四项都是素数，大部分是合数比如1807=13×139. 10650056950807 = 547 ×19569939581.在首三百万个质数只有1166个是西尔维斯特数。现时所知的西尔维斯特数中，都是无平方数因数的数，但未有证明所有西尔维斯特数都是。
推广：对于任意与正整数m互素的$a_0$，序列$a_{n+1}=a_n^2 - ma_n+ m$中每两项是互质的。
证明：
自然数x_i两两互质,$f(1)=x_1,f(2)=x_2\ldots f(k)=x_k,\forall n>k:f(n)=f(1)\ldots f(n-1)+1$
一个有趣性质是n≥2，$\frac1{a_0}+\frac1{a_1}+\ldots+\frac1{a_{n-1}}=1-\frac1{a_n-1}$。因此，我们还可以写出$a_n=\frac{\frac1{a_0}+\frac1{a_1}+\ldots+\frac1{a_{n-1}}-2}{\frac1{a_0}+\frac1{a_1}+\ldots+\frac1{a_{n-1}}-1}$
这个性质给出无穷多种1的埃及分数表示1 = 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806 = ...
1的贪婪算法埃及分数表示为$ 1 = \frac12 + \frac13 + \frac17 + \frac1{43} + \frac1{1807} +...$
下面的一个性质说明它在埃及分数序列中对1的逼近是最优的.
正整数列$\{b_n\}$满足$\sum\limits_{i=0}^n\frac1{b_n}＜1$，则$\sum\limits_{i=0}^n\frac1{b_n}≤\sum\limits_{i=0}^n\frac1{a_n}$
证明:用反证法和第二数学归纳法。假设结论对$1,2\cdots n-1$成立,对n不成立.由于$\sum\limits_{i=0}^n\frac1{b_i}$的分母为$\prod\limits_{i=0}^nb_i$的正因数,$1-\frac1{\prod\limits_{i=0}^nb_i}≥\sum\limits_{i=0}^n\frac1{b_i}＞\sum\limits_{i=0}^n\frac1{a_i}=1-\frac1{\prod\limits_{i=0}^na_i},\prod\limits_{i=0}^nb_i＞\prod\limits_{i=0}^na_i$(*).不妨设$b_i≤b_{i+1}$，用Abel变换，$\sum\limits_{i=0}^n\frac{b_i}{a_i}=\sum\limits_{i=0}^n(b_i-b_{i+1})\sum\limits_{j=0}^{i}\frac1{a_j}+b_n\sum\limits_{i=0}^{n}\frac1{a_i}＜\sum\limits_{i=0}^n(b_i-b_{i+1})\sum\limits_{j=0}^{i}\frac1{b_j}+b_n\sum\limits_{i=0}^{n}\frac1{b_i}=\sum\limits_{i=0}^n\frac{b_i}{b_i}=n+1$,由均值不等式$\prod\limits_{i=0}^n\frac{b_i}{a_i}＜1$,与(*)矛盾。
对于$\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\ldots+\frac1{x_n}+\frac1{x_1x_2\ldots x_n}=1$型不定方程，$x_1,x_2,\ldots ,x_n\in \mathbf N_+$，前n个西尔维斯特数是其一组解，n=4,5时方程只有一组解，n=6时
$a_k^2 + 1｜a_{k+1}^2 + 1$
证明：$a_{k+1}^2 + 1 = (a_k^2 - a_k+ 1)^2 +1 = (a_k^2 -2a_k+2)(a_k^2 + 1) $
$a_{k+1}+a_k｜a_ka_{k+1}+ 1$
证明：$a_ka_{k+1}-1=a_k(a_k^2-a_k+1)-1=a_k^3-a_k^2+a_k-1=(a_k^2+1)(a_k-1)=(a_{k+1}+a_k)(a_k-1)$
考虑映射$f(a/b)=\frac{a^3+b}{a+b^3}$。从a=1，b=2开始，在每个新的既约分数上反复进行这个映射，得到1/2，1/3，1/7，1/43，1/1807...
证明：
$a_n=\lfloor{c^{2^(n+1)} + \frac12}\rfloor$，其中Vardi常数c= 1.2640847353053011130795995...
-3是西尔维斯特数的任何素因子的二次剩余。
证明：
如果取包含前n项的倒数的序列的任何子集，且首项变号，则该子集的元素和等于元素积。因此-1/2=-1/2、-1/2+1/3=-1/2*1/3、-1/2+1/3+1/7=-1/2*1/3*1/7、-1/2+1/7+1/43=-1/2*1/3*1/7*1/43等等。
证明：
此序列还与勾股数组的短边有关，(3，4，5)，(5，12，13)，(13，84，85)，.A053630(N)=2*a(N)-1。
证明： |
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