磨光函数列卷积$f\in L^p$，卷积列按$L^p$范数收敛到$f$

abababa

如图，请问红色划线部分是怎么推出来的？
$\DeclareMathOperator{\supp}{supp}$
其中$\{\rho_n\}$是一列磨光函数列，满足
\[\rho_n\in C_c^{\infty}(E),\supp\rho_n\subseteq\overline{B(0,\tfrac{1}{n})},\int_E\rho_n=1,\rho_n\ge0\]
其中$E=\mathbb{R}^m$。

图片里引用的命题4.21是说$(\rho_n*f_1)$在$E$的任意一个紧致集上能按一致范数收敛到$f_1$，但红色画线的部分只是说明$\supp(\rho_n*f_1)$是$E$中的一个紧致集，根据命题4.21，卷积是在这个紧致集上一致收敛（推出按$L^p$范数收敛）到$f_1$，但这不能推出$\|(\rho_n*f_1)-f_1\|_p\to0$吧，比如设$F=\supp(\rho_n*f_1)$，则
\begin{align*}
\|(\rho_n*f_1)-f_1\|_p^p&=\int_{E}\abs{(\rho_n*f_1)(x)-f_1(x)}^pdx
=\int_{F}\abs{(\rho_n*f_1)(x)-f_1(x)}^pdx+\int_{F^c}\abs{(\rho_n*f_1)(x)-f_1(x)}^pdx\\
&<\varepsilon+\int_{F^c}\abs{(\rho_n*f_1)(x)-f_1(x)}^pdx
=\varepsilon+\int_{F^c}\abs{0-f_1(x)}^pdx
\end{align*}
后面那个在$F^c$上的积分，怎么能证明它也能趋于零呢？

abababa

唉，我明白了，原来要在集合$F=\supp(\rho_n*f_1)\cup\supp f_1$上积分，而这个集合是两个紧致集之并，也是紧致集，这样在它上面就有$(\rho_n*f_1)$一致收敛到$f_1$了，而在$F^c$上两个函数都是零，这样取$L^p$范数时，全区域上的积分就化为$F$上的积分，就得到结果了。