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What is the integral of log(z) over the unit circle?
$\log z$是多值函数. 取$\log z$的分岐$\arg z=\alpha\in{\mathbb R}$,
“单位圆上的积分”定义为沿路径$\gamma:\quad t\mapsto z(t):=e^{it}\qquad(\alpha\leq t\leq\alpha+2\pi)$的积分.
若积分值与$\alpha$无关, 则积分是良定义的. 这归结为计算
$$\int_\alpha^{\alpha+2\pi}(it+2k\pi i)\>ie^{it}\>dt=-\int_\alpha^{\alpha+2\pi}t\>e^{it}\>dt=-\left.\left(\frac{t}i+1\right)e^{it}\right|_\alpha^{\alpha+2\pi}=2\pi i\>e^{i\alpha}\ .$$
因子 $e^{i\alpha}$ 仍然存在。这表明如果不选择$\alpha$，就无法为所讨论的积分分配一个确定的值。
$\log(1-z)$沿路径$\gamma:\quad t\mapsto z(t):=e^{it}\qquad(\alpha\leq t\leq\alpha+2\pi)$的积分.
$$\int_\gamma\log(1-z)dz=\int_{\alpha}^{\alpha+2π}\log (1-e^{i \theta})ie^{i \theta}~d\theta=\left.\left(e^{i \theta }-1\right) \log \left(1-e^{i \theta }\right)-e^{i \theta }\right|_{\theta=\alpha}^{\alpha+2\pi}=0$$
积分是0, 与$\alpha$的选择无关. |
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