代数式的化简

lemondian

请问以下式子的化简结果：（有理化，且$x>8$）
$\dfrac{3x(x-2)-3(x+2)\sqrt{x(x-8)}}{2[x-\sqrt{x(x-8)}]\times \sqrt[3]{(x-4)-\sqrt{x(x-8)}}}$

kuing

哪来这么奇怪嘀题目？

lemondian

kuing 发表于 2022-11-16 03:32
哪来这么奇怪嘀题目？

在求解贴子：forum.php?mod=viewthread&tid=9217&extra=
的问题时，得到的结果。
但总是化简不出4#的值（经试值，好象两者是相等的）
@kuing  能不能帮忙化简一下

hejoseph

令 $y=x-4-\sqrt{x(x-8)}$，则必然 $0<y<4$，可求得
\[
x=\frac{(y+4)^2}{2y}，
\]
有上面结果可以得到
\[
\sqrt{x(x-8)}=\frac{16-y^2}{2y}，
\]
再计算原式就不难。我不知道你想验证什么结论，不过上面的做法应该就没什么问题。

lemondian

hejoseph 发表于 2022-11-16 14:51
令 $y=x-4-\sqrt{x(x-8)}$，则必然 $0

能不能化成这个结果：
$\sqrt[3]{\frac{27}{32}\bigl(x^2+20x-8-\sqrt{x(x-8)^3}\bigr)},$

hejoseph

lemondian 发表于 2022-11-16 15:40
能不能化成这个结果：
$\sqrt[3]{\frac{27}{32}\bigl(x^2+20x-8-\sqrt{x(x-8)^3}\bigr)},$

最重要的结果都给你了，你难道不能自己计算一下？用上面的代换以及上面的结果替换下面的 $x$ 以及 $\sqrt{x(x-8)}$，就可得
\begin{align*}
&\frac{3x(x-2)-3(x+2)\sqrt{x(x-8)}}{2(x-\sqrt{x(x-8)})\sqrt[3]{(x-4)-\sqrt{x(x-8)}}}=\frac{3(y+8)}{4\sqrt[3]{y}}，\\
&\frac{27}{32}\Bigl(x^2+20x-8-\sqrt{x(x-8)^3}\Bigr)=\frac{27(y+8)^3}{64y}，
\end{align*}
是否相等可以断言了吧？

lemondian

hejoseph 发表于 2022-11-16 21:42
最重要的结果都给你了，你难道不能自己计算一下？用上面的代换以及上面的结果替换下面的 $x$ 以及 $\sqrt ...

非常感谢两位的帮忙！