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几何变换 И. М. Ягло́м 美国新数学丛书 (译者: 詹汉生 章学诚) 北京大学出版社 1988 第二册 相似变换 第47页
37. 求作n边形，使得分别以它的n条边为底作与n个给定的三角形相似的三角形时，这些三角形的顶点M1,M2,⋯,Mn为给定点。问在什么条件下这个问题无解？什么时候有一个以上的解？
我的想法
设多边形的顶点为$A_1,\cdots,A_n$
n个给定的三角形的顶点为0,1和$z_i\in\Bbb C$
以$A_i$为中心的相似变换为$f_i(z)=z_i(z-A_i)+A_i$
问题等价于, 使$f_n\circ\cdots\circ f_2\circ f_1$有不动点$A_1$
即$f_n\circ\cdots\circ f_2\circ f_1(A_1)-A_1=0$,这是关于$A_1$的一次方程.
若$z^1$系数$z_n\cdots z_2z_1-1\ne0$则有唯一解.
若$z_n\cdots z_1z_1-1=0$, 则(当$f_n\circ\cdots\circ f_2\circ f_1=$平移)解集为$\varnothing$或(当$f_n\circ\cdots\circ f_2\circ f_1=\text{id}$)解集为$\Bbb C$
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