求证$\abs{f(x)-f(c)}\le g(x)-g(c)$

abababa

已知$f,g$都可导，且当$x\ge c$时有$\abs{f'(x)}\le g'(x)$，求证$\abs{f(x)-f(c)}\le g(x)-g(c)$。
感觉和中值定理有关，一时没弄出来。

hbghlyj

当$x\ge c$时$(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)\le0$
所以$f(x)-g(x)\searrow$
$f(x)-g(x)\le f(c)-g(c)$
是这样吗

abababa

hbghlyj 发表于 2022-11-29 19:12
当$x\ge c$时$(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)\le0$
所以$f(x)-g(x)\searrow$
$f(x)-g(x)\le f(c)-g(c)$

最后的$f(x)-f(c)$有绝对值，这样还推不出来吧？

abababa

弄出来了，因为$g'(x)\ge\abs{f'(x)}\ge0$，假设$g'(x)=0$，则$f'(x)=0$，从而$f,g$都是常数，命题成立，否则$g'(x)>0$，于是$g$是增函数。在$[c,x]$上根据柯西中值定理，存在$\xi\in(c,x)$使得
\[\abs{\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}=\abs{\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}}\le1\]
因为$g$是增函数，所以$g(x)-g(c)\ge0$，所以$\abs{f(x)-f(c)}\le\abs{g(x)-g(c)}=g(x)-g(c)$