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Last edited by hbghlyj 2025-3-19 08:26已知 $A, B, C$ 三点在椭圆 $E: \frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上，其中 $A$ 为椭圆 $E$ 的右顶点，圆 $O: x^2+y^2=r^2$ 为三角形 $A B C$ 的内切圆．
（1）求圆 $O$ 的半径 $r$；$\boxed{r=\frac23}$
（2）已知 $A_1\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right), A_2, A_3$ 是 $E$ 上的两个点，直线 $A_1 A_2$ 与直线 $A_1 A_3$ 均与圆 $O$ 相切，判断直线 $A_2 A_3$ 与圆 $O$ 的位置关系，并说明理由．
参考答案如下：
（2）由题意可知直线 $A_1 A_2$ 与 $A_1 A_3$ 斜率 $k_1$ 和 $k_2$ 均存在，设过 $A_1\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)$ 且与
圆 $O: x^2+y^2=\frac{4}{9}$ 相切的直线方程为：$y-\frac{2 \sqrt{5}}{5}=k\left(x-\frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)$ ，即 $k x-y+\frac{2 \sqrt{5}}{5}(1-k)=0$ ，
则圆心 $O$ 到该直线的距离 $d=\frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5}|1-k|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{2}{3}$ ，即 $4 k^2=18 k-4$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{c}k x-y+\frac{2 \sqrt{5}}{5}(1-k)=0 \\ x^2+4 y^2=4\end{array}\right.$ ，可得：$x^2+4\left[k x+\frac{2 \sqrt{5}}{5}(1-k)\right]^2=4$ ，
即 $\left(4 k^2+1\right) x^2+\frac{16 \sqrt{5}}{5} k(1-k) x+\frac{16}{5}(1-k)^2-4=0$ ，则方程异于 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 的实数解
\[
\begin{aligned}
& x=\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\frac{16}{5}(1-k)^2-4}{4 k^2+1}=\frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{4 k^2-8 k-1}{4 k^2+1}=\frac{2 \sqrt{5}}{3} \cdot \frac{2 k-1}{6 k-1} \\
& y=k\left(x-\frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)+\frac{2 \sqrt{5}}{5}=-\frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{4 k^2+2 k-1}{4 k^2+1}=-\frac{2 \sqrt{5}}{3} \cdot \frac{4 k-1}{6 k-1},
\end{aligned}
\]
设 $A_2\left(\frac{2 \sqrt{5}}{3} \cdot \frac{2 k_1-1}{6 k_1-1},-\frac{2 \sqrt{5}}{3} \cdot \frac{4 k_1-1}{6 k_1-1}\right), A_3\left(\frac{2 \sqrt{5}}{3} \cdot \frac{2 k_2-1}{6 k_2-1},-\frac{2 \sqrt{5}}{3} \cdot \frac{4 k_2-1}{6 k_2-1}\right)$ ，
则直线 $A_2 A_3$ 的斜率 $k=\frac{-\frac{2 \sqrt{5}}{3}}{\frac{2 \sqrt{5}}{3}} \frac{\frac{4 k_2-1}{6 k_2-1}-\frac{4 k_1-1}{6 k_1-1}}{\frac{2 k_2-1}{6 k_2-1}-\frac{2 k_1-1}{6 k_1-1}}=-\frac{\left(4 k_2-1\right)\left(6 k_1-1\right)-\left(4 k_1-1\right)\left(6 k_2-1\right)}{\left(2 k_2-1\right)\left(6 k_1-1\right)-\left(2 k_1-1\right)\left(6 k_2-1\right)}=-\frac{1}{2}$ ，
故直线 $A_2 A_3$ 的方程为：$y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{2 \sqrt{5}}{3} \cdot \frac{2 k_1-1}{6 k_1-1}\right)-\frac{2 \sqrt{5}}{3} \cdot \frac{4 k_1-1}{6 k_1-1}=-\frac{1}{2} x-\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，
则圆心 $O$ 到 $A_2 A_3$ 的距离 $d=\frac{\left|-\frac{\sqrt{5}}{3}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{1}{2}\right)^2}}=\frac{2}{3}=r$ ，故直线 $A_2 A_3$ 与圆 $O$ 相切． |
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