$ℝ^3$上等距变换只有一个不动点则可写成3个反射的复合

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$ℝ^3$上等距变换$\phi$只有一个不动点$O$的充要条件是存在过$O$的三张平面$\Sigma_1,\Sigma_2,\Sigma_3$使得$\Sigma_1\cap\Sigma_2\cap\Sigma_3=\{O\}$且$\phi=\Sigma_3\circ\Sigma_2\circ\Sigma_1$.

Cartan–Dieudonné theorem:$ℝ^n$上等距变换都能写成不多于 $n$ 个反射的复合。