绝对可积等价于可积

hbghlyj

Absolutely integrable function
For a real-valued function, since\[\int |f(x)|\,dx=\int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx\]
where\begin{array}l
f^{+}(x)=\max(f(x),0),\\f^{-}(x)=\max(-f(x),0)\end{array}both $\int f^{+}(x)\,dx$ and $\int f^{-}(x)\,dx$ must be finite. In Lebesgue integration, this is exactly the requirement for any measurable function $f$ to be considered integrable, with the integral then equaling $\int f^{+}(x)\,dx-\int f^{-}(x)\,dx$, so that in fact "absolutely integrable" means the same thing as "Lebesgue integrable" for measurable functions.
Absolute Value of Riemann Integrable Function
如果 $f$ 在某个点是连续的，那么 $|f|$ 在那里也是连续的。然后可以使用“一个函数是 Riemann 可积的，当且仅当它的不连续点集是一个零测集”这个定理。
但这个定理是一个相当笨重的工具。一种更自然的方法是观察对于区间的每个分割 $P$，根据三角不等式，上下和 $U,L$ 满足
$$
U(|f|,P)-L(|f|,P)\le U(f,P)-L(f,P)
$$

hbghlyj

$f(x)=\frac{(−1)^{n}}{n}$ 对于每个 $n⩽x<n+1$ 和 $n\in\Bbb N$。证明 $f$ 在 $[1,+\infty)$ 不是 Lebesgue 可积的。
Show that the function is not Lebesgue Integrable
若 $f$ 在 $[1,+\infty)$ Lebesgue 可积，则 $\int_1^\infty|f|<\infty$.
$a_n=\int_n^{n+1}f=\frac{(-1)^n}{n}$，级数 $\sum a_n$ 收敛到 $-\log2$。
但是 $\int_n^{n+1}|f|=|a_n|$，级数 $\sum|a_n|$ 发散。

$f$的图象
$\abs f$的图象

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2022-12-11 13:27
$f(x)=\frac{(−1)^{n}}{n}$ 对于每个 $n⩽x<n+1$ 和 $n\in\Bbb N$。证明 $f$ 在 $[1,+\infty)$ 不是 Lebesgue 可积的。

由此可见integration.pdf Proposition 4.8. (8)
If $f$ is integrable over a measurable set $E$ and $\left(E_n\right)$ is an increasing sequence of measurable sets with $\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n=E$ then $\int_E f=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{E_n} f$.
的条件“$f$ is integrable over $E$”是必要的. 如果没有这个条件, 取$f$为上面定义的函数, 取$E_n=[1,n]$, 则 $f$ 在 $E_n$ 可积, 就会推出 $\int_E f=-\log2$, 矛盾.