请教一整数解问题

wenshengli

给定无理数a,b,证明方程\[|x+ay+\frac{1}{3}|+|ax-y+\frac{a}{3}|=b\]的整数解(x,y)只有一组.

realnumber

觉得更可能无解才对，比如给定$a=\sqrt{2},b=\sqrt{3}$

其妙

回复 2# realnumber
那就改成至多有一组整数解？

wenshengli

回复 3# 其妙
请问改了以后如何解？谢谢！

其妙

回复 4# wenshengli
题目来源？

战巡

回复 1# wenshengli

反证法不错
不妨假设这方程有两组或更多整数解$(x_1,y_1), (x_2,y_2)$
于是有
\[\abs{x_1+ay_1+\frac{1}{3}}+\abs{ax_1-y_1+\frac{a}{3}}=b\]
\[\abs{x_2+ay_2+\frac{1}{3}}+\abs{ax_2-y_2+\frac{a}{3}}=b\]
无论这些个绝对值怎么拆，都是个线性方程组，最后肯定得到$a,b$都是$x_1,x_2,y_1,y_2$的各种线性或乘除组合，怎么地都会是有理数，与原题矛盾

wenshengli

回复 6# 战巡

非常感谢！