x²≤tanh(x)tanh⁻¹(x)

hbghlyj

$$\frac{x}{\arctanh(x)}\leq \frac{\tanh(x)}{x}\qquad0<x<1$$
Best value of an expression
设 $A(x,-\tanh{x})$, $B(x,\arctanh{x})$, $C(x,\tanh{x})$, $C'(\tanh{x},x)$, $D(x,0)$.
因为 $\operatorname{arctanh}$ 是 $[0,1)$ 上的凸、增函数，并且 $C$ 和 $C'$ 关于 $y=x$ 对称，我们得到：$$\measuredangle BOA\geq\measuredangle C'OA=90^{\circ}.$$
所以 $OD^2\leq BD\cdot AD$，即
$$x^2\leq\operatorname{arctanh}{x}\tanh{x}$$

hbghlyj

重写一下:
$\tanh x$是凸、增函数$⇒f(x)=\frac{\tanh x}{x}$是增函数
$$\arctanh x≤x⇒f(\arctanh x)≤f(x)⇒\frac{x}{\arctanh x}≤\frac{\tanh x}x\qquad0<x<1$$

同样可得$$\frac{x}{\arctan x}≤\frac{\tan x}{x}\qquad0<x<\frac\pi2$$和$$\frac{x}{\arcsin x}≤\frac{\sin x}{x}\qquad0<x<1$$