椭圆上的直角三角形，若直角顶点为定点，则斜边过定点

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看着很有意思，估计不好证。

来自奇妙而有趣的几何一书

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你们丢过程来砸我，快，哈哈

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回复 5# 乌贼


     期待一下啊，如果有纯几何法，那更好，不过，这玩意，多半又和极线有关的。只要和这个东东联系上的，没有不复杂的。

    其次，不知解析法里有没曲线系轻量的解法。

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高观点下，这个直角如何理解，如何解释？

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回复 10# 青青子衿


    链接帖的主楼的4，就是完整的结论，至于解析证明网上很多，比如11年kuing给的：

不妨设椭圆方程为 $a x^2+b y^2=1, a, b>0$ ，设定点 $A\left(x_0, y_0\right)$ ，则 $a x_0^2+b y_0^2=1$ ．
又设 $B\left(x_1, y_1\right), C\left(x_2, y_2\right), L_{A B}: y-y_0=k\left(x-x_0\right)$ ，则 $L_{A C}: y-y_0=-\frac{1}{k}\left(x-x_0\right)$ ．
联立 $L_{A B}$ 与椭圆方程，消去 $y$ 得
\[
\left(a+b k^2\right) x^2-2 b k\left(k x_0-y_0\right) x+b\left(k x_0-y_0\right)^2-1=0
\]
由韦达定理，有 $x_0+x_1=\frac{2 b k\left(k x_0-y_0\right)}{a+b k^2}$ ，即 $x_1=\frac{2 b k\left(k x_0-y_0\right)}{a+b k^2}-x_0$ ，
将 $k$ 变成 $-\frac{1}{k}$ 即得 $x_2=\frac{2 b\left(x_0+k y_0\right)}{a k^2+b}-x_0$ ，
类似地可以得到 $y_1=-\frac{2 a\left(k x_0-y_0\right)}{a+b k^2}-y_0, y_2=\frac{2 a k\left(x_0+k y_0\right)}{a k^2+b}-y_0$ ．
又 $L_{B C}:\left(y_1-y_2\right) x-\left(x_1-x_2\right) y+x_1 y_2-x_2 y_1=0$ ，代入以上数据后暴力大化简整理，最终得 $L_{B C}: a b\left(x_0 y+x y_0\right) k^2+\left((a+b)\left(a x_0 x-b y_0 y\right)+a-b\right) k=a b\left(x_0 y+x y_0\right)$ ．
\[
\text { 令 }\left\{\begin{array} { l }
{ x _ { 0 } y + x y _ { 0 } = 0 , } \\
{ ( a + b ) ( a x _ { 0 } x - b y _ { 0 } y ) + a - b = 0 , }
\end{array} \text { 解得 } \left\{\begin{array}{l}
x=-\frac{x_0(a-b)}{(a+b)\left(a x_0^2+b y_0^2\right)}=-\frac{a-b}{a+b} x_0, \\
y=\frac{y_0(a-b)}{(a+b)\left(a x_0^2+b y_0^2\right)}=\frac{a-b}{a+b} y_0 .
\end{array}\right.\right.
\]
即点 $\left(-\frac{a-b}{a+b} x_0, \frac{a-b}{a+b} y_0\right)$ 就是直线过的定点．

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相关问题1:$DE$ 为椭圆在定点$D$的切线的 法线，$EF$，$EG$为椭圆切线，则$DE$平分$\angle FDG$.

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回复 15# kuing

原来kuing搞了个 相关问题1 的解析证明啊，今天才看到呢，相见恨晚。

说这两相关原因是，主楼富瑞基尔定理，当椭圆为圆时，这些弦都经过圆心。

而相关问题1也是圆的推广（圆下极明显）。


楼上对相关问题1的证明方法，kuing 和11年的状态相比，又进了一个层次。

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其次，在高等几何的观点下，问题1，以调和线束等来理解是容易的，只是主楼那个直角，还未参透，所以，只是猜想，二者在高等几何下，也应该是相同的。

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回到楼 富瑞基尔定理，这里给大家介绍大师 单墫 给出的解析证明，非原文，例出核心部分。

这个定理的一部分可以写成：在椭圆\[\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1\tag{01}\label{eq01}\]上取定点$P$，过点$P$作两条垂直的射线，分别交椭圆于$A,B$两点。在$PA,PB$绕点$P$旋转时，弦$AB$经过一个定点$X$。

若用标准方程\eqref{eq01}，则需设出点$P(x_0,y_0)$，这样较为麻烦，不如改以$P$为原点，设过点$P$的椭圆为\[ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey=0\tag{02}\label{eq02}\]其中$a,b,c,d,e$设为已知常数。

又设$AB$的方程为\[mx+ny=1\tag{03}\label{eq03}\]其中$m,n$为任意常数。


则关于$x,y$的二次齐次式\[ax^2+2bxy+cy^2+(2dx+2ey)(mx+ny)=0\tag{04}\label{eq04}\]表示两条过原点P的直线，又\eqref{eq04}过\eqref{eq02}与\eqref{eq03}的交点$A,B$，即\eqref{eq04}就是两直线$PA,PB$。

而$PA\perp PB$，它们的斜率的乘积为$-1$，从而将\eqref{eq04}写成\[(a+2dm)x^2+\cdots+(c+2en)y^2=0\tag{05}\label{eq05}\]再由韦达定理，有\[(a+2dm)+(c+2en)=0\tag{06}\label{eq06}\]\eqref{eq06}亦为\[2dm+2en+(a+c)=0\tag{07}\label{eq07}\]

对照\eqref{eq03}与\eqref{eq07}，可见$AB$通过定点$X$，$X$的坐标是\[\left(-\frac {2d}{a+c},-\frac{2e}{a+c}\right)\]定点。


富瑞基尔定理，另一部分是说：定点$X$在(原)点$P$处的法线上，在点$P$处的法线是$ex-dy=0$，这是显然的。

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18楼避开计算，与15楼相映成趣～

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回复  isee

这题maven网友以前证过，但是没怎么看懂：
(C1C2;A1B1) = sin(C1PA1)/sin(C2PA1):sin(C1PB1)/ ...
abababa 发表于 2016-7-15 12:06

这个给出图中的点，很难看懂啊，何况还是半懂的状态。。。。。。