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kuing
发表于 2014-6-30 18:04
相关问题1:$DE$ 为椭圆在定点$D$的切线的 法线，$EF$，$EG$为椭圆切线，则$DE$平分$\angle FDG$. ...
isee 发表于 2014-6-27 14:31
前两天断了网，没事想了想这道题，没找出几何证法，倒是代数证法还蛮简单。
以 $D$ 处的切线为 $x$ 轴，法线 $DE$ 为 $y$ 轴，建立直角坐标系。
设椭圆方程为
\[M(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,\]
由于椭圆过原点，故 $F=0$，因为
\[\frac{\rmd y}{\rmd x}=-\frac{M_x}{M_y}=-\frac{2Ax+By+D}{Bx+2Cy+E},\]
由于在原点处的切线为 $x$ 轴，故 $D=0$，因此该椭圆方程必为
\[M(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Ey=0,\]
设 $F(x_1,y_1)$, $G(x_2,y_2)$, $E(0,h)$，记 $F$, $G$ 处的切线为 $L_F$, $L_G$，则
\begin{align*}
L_F:&Ax_1x+B\frac{x_1y+xy_1}2+Cy_1y+E\frac{y_1+y}2=0, \\
L_G:&Ax_2x+B\frac{x_2y+xy_2}2+Cy_2y+E\frac{y_2+y}2=0, \\
L_{FG}:&B\frac{xh}2+Chy+E\frac{h+y}2=0,
\end{align*}
由于 $L_F$, $L_G$ 过 $(0,h)$，故
\begin{align*}
B\frac{x_1h}2+Cy_1h+E\frac{y_1+h}2&=0, \\
B\frac{x_2h}2+Cy_2h+E\frac{y_2+h}2&=0,
\end{align*}
整理得
\begin{align*}
(2Ch+E)\frac{y_1}{x_1}&=-\frac{Eh}{x_1}-Bh,\\
(2Ch+E)\frac{y_2}{x_2}&=-\frac{Eh}{x_2}-Bh,
\end{align*}
所以待证的等价于
\[
\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=0 \iff \frac{Eh}{x_1}+\frac{Eh}{x_2}+2Bh=0
\iff \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-\frac{2B}E,
\]
联立 $L_{FG}$ 及椭圆方程
\[\led
B\frac{xh}2+Chy+E\frac{h+y}2=0,\\
Ax^2+Bxy+Cy^2+Ey=0,
\endled\]
消 $y$ 得
\[Px^2-2BEh(E+Ch)x-E^2h(E+Ch)=0,\]
其中 $P$ 为关于 $A$, $B$, $C$, $E$, $h$ 的式子，那么
\[\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{2BEh(E+Ch)}{-E^2h(E+Ch)}=-\frac{2B}E,\]
即得证。
由上述证法看来似乎不必限制为椭圆。 |
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其妙
发表于 2014-4-16 22:42
青青子衿
发表于 2014-4-18 19:32
