五边形对角线形成的五边形

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Branko Grünbaum: Quadrangles, pentagons and computers
Geombinatorics 3(1993), 4 - 9.
Geombinatorics 4(1994), 11 - 16

五边形$P$，连接对角线形成一个五边形$P'$
证明：存在射影变换$T$把$P$映射到$P'$

On the products of cross-ratios on diagonals of polygons推广到平面上的 n 边形 P，$n ≥ 5$，一些对角线相交定义一个新的 n 边形 δ(P)，则 P 的对角线上交比的乘积等于 δ(P) 对角线上相应的交比。

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The Pentagram map: a discrete integrable system by V Ovsienko · 2008

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The pentagram map 1992.pdf (246.55 KB, Downloads: 2)

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转载《The pentagram map》Theorem 2.1证明：
五边形$P=\left(p_1, \ldots, p_5\right)$的射影不变量是$X_k=X\left(l_{k-1, k}, l_{k-2, k}, l_{k+2, k}, l_{k+1, k}\right)$，其中$l_{i,j}$是连接顶点$p_i,p_j$的直线，用$X\left(l_1, l_2, l_3, l_4\right)$表示四条直线$l_1, l_2, l_3, l_4$的交比。
为了证明$P$与$P'$射影等价，要证明$X_i(P)=X_i(P'),i=1,2,3,4,5$，由对称性只需证$X_5(P)=X_5(P')$
由于$\left(p_1, p_3^{\prime}, p_2^{\prime}, p_4\right) $ 通过 $p'_5$ 透视到 $\left(p_4^{\prime}, p_2^{\prime \prime}, p_3^{\prime \prime}, p_1^{\prime}\right)$，有
\[
\begin{aligned}
X_5(P) & =X\left(p_1, p_3^{\prime}, p_2^{\prime}, p_4\right)\\&=X\left(p_4^{\prime}, p_2^{\prime \prime}, p_3^{\prime \prime}, p_1^{\prime}\right) \\
& =X\left(p_1^{\prime}, p_3^{\prime \prime}, p_2^{\prime \prime}, p_4^{\prime}\right)=X_5\left(P^{\prime}\right)
\end{aligned}
\]

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文中写道，$T$有一个不动点$c(P)$，在五边形$P$内部，且$P$在$T$的迭代下会收敛到该点。
如何作出$T$的不动点$c(P)$？

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