交比与射影对应

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基础知识梗概(转载自 三千夜色苍穹)
1.交比与射影对应
定义1.1:任意两条平行直线交于无穷远点(线向),所有无穷远点共线于无穷远线$\mathcal{L}_\infty$,普通平面并上无穷远点与$\mathcal{L}_\infty$称为射影平面
定理1.1:射影平面上的直线与点对偶,两点确定一条直线,五点确定一条二次曲线(锥线),九点确定一条三次曲线
定义1.2:ABCD是共线四点,交比$(A B ; C D)=\frac{A C \cdot B D}{B C \cdot A D}$;a,b,c,d是共点四线,交比$(a,b,c,d)=\frac{\sin(a,c)\sin(b,d)}{\sin(b,c)\sin(a,d)}$
定义1.3:透视对应:如图1.3.1,P是定点,A在定直线$\mathcal{L}_1$上运动,AP$\cap\mathcal{L}_2$=A',则称点A与A'成透视对应
如图1.3.2,动直线a经过定点C,与定直线交于P,直线a'经过定点B和P,则称a与a'成透视对应
定义1.4:两个点列(线束)间的射影对应是指一系列透视对应的复合,记作P→Q是射影对应,或者,p→q是射影对应.
定理1.4.1:射影对应的复合还是射影对应
定理1.4.2:射影对应保交比,保交比必是射影对应,即若P→f(P),取P的四个特例$P_1P_2P_3P_4$,有$(P_1P_2,P_3P_4)=(f(P_1)f(P_2),f(P_3)f(P_4))$
定理1.4.3:设$l_1$与$l_2$上的点列有一个射影对应,则它是透视对应的充要条件是$l_1$与$l_2$的交点自对应
定理1.4.4:若射影对应f与射影对应g存在三个特例使得f=g,则f$\equiv$g
推论1.4.4.1:若射影对应f:P→P'存在三组特例使得P=P',则f是恒等变换.
推论1.4.4.2:若射影对应f:P→Q存在三个特例使得PQ经过定点X,则PQ恒过X.
定义1.5:若射影变换f使得f(f(A))=A对任意的A成立,则称f是一个对合变换
定理1.5.1:点列(线束)上的射影变换f,只要有一对不同的元素A,B满足f(A)=B,f(B)=A,则f是一个对合变换
定理1.5.2:f是一个对合,对于任意P与f(P),连线Pf(P)经过对合中心
定理1.5.3:直线上的对合要么没有自对应点,要么有两个自对应点(其中一个可以是无穷远点),且任意一对对应点关于两个自对应点调和共轭
笛沙格对合定理(点):一直线截完全四点形$A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$于六个点$A_{i j}(i, j=1,2,3,4, i \neq j)$,与过$A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$的二次曲线交于$B_{1}, B_{2}$,则$(A_{12},A_{34}),(A_{13},A_{24}),(A_{14},A_{23}),(B_1,B_2)$属于一个对合.
笛沙格对合定理(线):设PABCD是平面上的点,AB$\cap$CD=E,AD$\cap$BC=F,二次曲线$\Gamma$与四边形ABCD相切,PX,PY是P到$\Gamma$的两条切线,则(PX,PY),(PA,PD),(PB,PC),(PE,PF)是同一对合的四组对应直线.
定义1.6:二次曲线是成射影对应的两线交点的集合
对偶:二次曲线是成射影对应的两点连线的包络
定义1.7:二次曲线上保任意四点交比不变的双射叫做二次曲线上的射影变换
定理1.7.1:设P是不在二次曲线$\Gamma$上的一个定点,$A\in\Gamma,AP\cap\Gamma=\{A,f(A)\}$,则f是射影变换,进一步,f是对合,P是对合中心.
定理1.7.2:AB是二次曲线$\Gamma$上的定点,动点P,则AP→BP是射影对应.
定义1.8:点列和线束成射影对应,指一点列和一直线截线束得到的点列成射影对应
定理1.8.1:给定定点X,定直线$l$上的点列$l$(P),则P$\rightarrow$PX是射影对应
定理1.8.2:P是锥线$\Gamma$上的动点,X是$\Gamma$上的定点,则$P\to XP$是射影对应.
定理1.8.3:配极变换保交比(直线上的点列与其极线构成的线束成射影对应)
定理1.8.4:二次曲线$\Gamma$的任意两个自极三角形顶点共二次曲线
定理1.8.5:关于一条锥线配极的两三角形透视
定义1.9:设f是二次曲线$\Gamma$上的射影变换,取$\Gamma$上一定点U(U$\ne f(U)$)
设P是$\Gamma$上的动点Pf(U)与Uf(P)的交点轨迹是一条不依赖U选取的直线,称为f关于二次曲线$\Gamma$的射影轴.
f为两个对合的复合,则两个对合中心的连线是f的射影轴.所以,f的射影轴与二次曲线的交点是f的不动点.
以不在二次曲线上的任意点为对合中心都能决定唯一的对合变换.
以P($\notin\Gamma$)为对合中心构造出一个对合,这个对合的射影轴叫做P关于二次曲线$\Gamma$的极线.
附:常见的射影对应与对合
1.$l_1,l_2$是两条定直线,P是平面上一点,A∈$l_1$,B∈$l_2$,且∠APB为定值,则A→B是射影对应
2.P是锥线$\Gamma$上一定点,A是$\Gamma$上一动点作PB⊥PA交$\Gamma$于B,则A→B是射影对应(对合)
3.设线束a绕定点P(P未必在a上)旋转的角度为定值$\theta$至a',则$a\to a'$是射影对应,特別地,当线束a绕其上一点P旋转90°至a',则a→a'是对合
4.等角线映射(对合)点:对称点映射(对合),轴对称,或者中心对称都是射影对应(对合)
5.等角共轭映射保交比,例如直线C上的四个点调和,则其等角共轭点是C等角像上的调和四边形,等角共轭可以推广为等度共轭
6.几何变换:配极(对合),或者反演(对合);两个线束对应的平行直线之间也是射影对应
旋转是射影对应(给定定点A,B及分别过A,B的定直线$l_1,l_2$,分別经过A,B的动直线a与a'与$l_1,l_2$的夹角有向角相同,则a→a'是射影对应)
7.设A,B,C是不共线的三个定点,定直线$l_1$经过C,P是$l_1$上的动点,则AB与CP的相似中心为T,则P$\rightarrow$T是射影对应
8.X是锥线$\Gamma$上一定点,P是$\Gamma$上的动点,$\mathcal{L}$是定直线,XP$\cap\mathcal{L}$=Q,则P$\rightarrow$Q是射影对应
9.$\mathcal{L}$是锥线$\Gamma$的定切线,P是$\mathcal{L}$上的动点,过P另作的切线交于Q,则P$\rightarrow$Q是射影对应
10.$\mathcal{L}_1,\mathcal{L}_2$是锥线$\Gamma$的两条定切线,$\Gamma$的动切线交$\mathcal{L}_1,\mathcal{L}_2$于P,Q,则P$\rightarrow$Q是射影对应
11.动定动定保交比,动动射影对应:
(线)给定定点A,$l_1,l_2$是过A的定直线,过A的动直线a,a'满足$(a,l_1,a',l_2)$为定值,则a$\rightarrow$a'是射影对应
(点):给定定直线l及l上的定点A,B,l上的动点P,Q满足(PA;QB)为定值,则P$\rightarrow$Q是射影对应
定义1.10:和$\mathcal{L}_\infty$有2个(实)交点的二次曲线是双曲线,1个交点的是抛物线(和$\mathcal{L}_\infty$相切),没有交点的是椭圆
定义1.11:二次曲线和$\mathcal{L}_\infty$的交点处的切线称为二次曲线的渐近线,$\mathcal{L}_\infty$的极点是二次曲线的中心
定义1.12:$\mathcal{L}_\infty$与椭圆交于两虚点,与圆交于两圆环点(又译,虚圆点)i,j
定理1.12:i,j关于二次曲线的极线的交点是二次曲线的焦点,焦点的极线是准线