Unitriangular matrix group的中心

hbghlyj

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physicsforums.com/threads/quick-question-on-a-group-definition.97271/
Unitriangular matrix group定义为
$$UT(n,\Bbb R)=\left\{(a_{i,j}):a_{i,j}=\array{0\text{ if }i>j\\1\text{ if }i=j}\right\}$$
证明$UT(3,\Bbb R)$的中心为$$\left\{\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & a \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array} \right):a∈\Bbb R\right\}$$
先证明$UT(3,\Bbb R)$的中心的元素$\left( \begin{array}{ccc}1 & b & a \\0 & 1 & c \\0 & 0 & 1\end{array} \right)$都满足$b=c=0$.
$\left( \begin{array}{ccc}1 & b & a \\0 & 1 & c \\0 & 0 & 1\end{array} \right)(I+E_{12})=(I+E_{12})\left( \begin{array}{ccc}1 & b & a \\0 & 1 & c \\0 & 0 & 1\end{array} \right)$
$⇒\left( \begin{array}{ccc}1 & b & a \\0 & 1 & c \\0 & 0 & 1\end{array} \right)E_{12}=E_{12}\left( \begin{array}{ccc}1 & b & a \\0 & 1 & c \\0 & 0 & 1\end{array} \right)$
$⇒\left( \begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc}0 & 1 & c \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{array} \right)$
$⇒c=0$
$\left( \begin{array}{ccc}1 & b & a \\0 & 1 & c \\0 & 0 & 1\end{array} \right)(I+E_{23})=(I+E_{23})\left( \begin{array}{ccc}1 & b & a \\0 & 1 & c \\0 & 0 & 1\end{array} \right)$
$⇒\left( \begin{array}{ccc}1 & b & a \\0 & 1 & c \\0 & 0 & 1\end{array} \right)E_{23}=E_{23}\left( \begin{array}{ccc}1 & b & a \\0 & 1 & c \\0 & 0 & 1\end{array} \right)$
$⇒\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & b \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0\end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0\end{array} \right)$
$⇒b=0$
再证明每个$\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & a \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array} \right),a∈\Bbb R$都属于$UT(3,\Bbb R)$的中心.
任意$UT(n,\Bbb R)$中的矩阵能表成$I+xE_{13}+yE_{12}+zE_{23}$
$(I+xE_{13}+yE_{12}+zE_{23})(I+aE_{13})=(I+aE_{13})(I+xE_{13}+yE_{12}+zE_{23})$
$⇔(xE_{13}+yE_{12}+zE_{23})(aE_{13})=(aE_{13})(xE_{13}+yE_{12}+zE_{23})$
而$E_{13}E_{13}=E_{12}E_{13}=E_{23}E_{13}=E_{13}E_{12}=E_{13}E_{23}=O,$所以两边都是零矩阵.命题成立.

hbghlyj

推广为,$UT(n,\Bbb R)$的中心为$\{I+aE_{1n}:a∈\Bbb R\}$(也就是,右上角的元素及对角线为1,其余为0),是否成立呢?

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2022-5-11 01:07
推广为,$UT(n,\Bbb R)$的中心为$\{I+aE_{1n}:a∈\Bbb R\}$(也就是,右上角的元素及对角线为1,其余为0),是否 ...

我讲过矩阵方程 $AX-XB=0$ 的通解, 大概在这里.

考虑 $A=B=$ any Jordan form with all one diagonal, then $C(UT(n,\mathbb R))$ 中的元素至少满足 (必要条件)

1. $k$-次对角线上元素相同.

2. $k$-次对角线上元素可以为 $0$, 若 $k$-次对角线不为右上角.

验证 $C=\{I+aE_{1n}\}$ 成立与否即可.

Czhang271828

Czhang271828 发表于 2022-5-15 16:03
我讲过矩阵方程 $AX-XB=0$ 的通解, 大概在这里.

考虑 $A=B=$ any Jordan form with all one diagonal, t ...

好吧, 结论显然是成立的.

参考上楼链接, 矩阵方程 $JX-XJ=O$ 之通解形式不依赖于数域, 所以 $C(UT(n,K))=\mathrm{span}(I,E_{1,n})$ 对任何域 $K$ 总是成立的.

其实上述结论似乎对 $UT(n,r)$ 均成立, $r$ 为任意含幺半环.