$U$非开集, 对于所有开集$V$, $U+V$为开集, 则$U$为单元集

hbghlyj

the Minkowski sum of an open set and a singleton open的逆命题:
$U$非开集, 对于所有开集$V$, $U+V=\{u+v:u\in U,v\in V\}$为开集, 则$U$为单元集.
是否正确?

abababa

不对。对任意的$u\in U$考虑$u+V$，定义映射$T:V\to u+V,v\mapsto u+v$，则$T$是同胚映射，而$V$是开集，所以$u+V$仍是开集，显然$U+V=\bigcup_{u\in U}(u+V)$是一族开集之并，因此还是开集。即$U,V$中只要有一个开集，$U+V$就是开集。

hbghlyj

abababa 发表于 2023-1-29 13:23
不对。对任意的$u\in U$考虑$u+V$，定义映射$T:V\to u+V,v\mapsto u+v$，则$T$是同胚映射，而$V$是开集，所 ...

我明白了。
题目如果改成闭集:

$U$非闭集, 对于所有闭集$V$, $U+V=\{u+v:u\in U,v\in V\}$为闭集, 则$U$为单元集.

是否正确?

Czhang271828

有限个闭集的并仍是闭集, 所以这个命题还是错的. 此外, 拓扑群不是什么自然的东西, 一般的拓扑空间没有加法; 你的问题是针对 $\mathbb R^n$ 上的通常拓扑吗?

以及我在论坛上经常见到一类问题: 描述拓扑空间 $(X,\tau)$ 时只说集合 $X$ 但不说拓扑 $\tau$; 描述赋范空间 $(X,\Vert\cdot\Vert)$ 时只说集合 $X$ 但不说范数 $\Vert\cdot \Vert$; 描述群 $(G,\star)$ 时只说集合 $G$ 但不说二元运算 $\star$ 等等. 很多无效楼甚至无效问题都是这类表述所致.

abababa

Czhang271828 发表于 2023-1-30 14:45
有限个闭集的并仍是闭集, 所以这个命题还是错的. 此外, 拓扑群不是什么自然的东西, 一般的拓扑空间没有加法 ...

主楼链接里的那个是赋范空间，所以他问的应该也是在赋范空间里。不过在拓扑线性空间里也是一样的。

Czhang271828

Czhang271828 发表于 2023-1-30 14:45
此外, 拓扑群不是什么自然的东西, 一般的拓扑空间没有加法 ...

另外一个不显然的问题是 $U+\varnothing=\varnothing$ 与 $U+\{0\}=U$ 之别. 不知内地的初高中教师如何讲解此帖中的结论? 依个人之见, 在公理化地介绍集合范畴前, 对空集避而不谈是比较妥当的的.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-1-31 07:03
这个题目问法也有问题。$U$ 非闭集...

确实。看来应该把“非闭集”改成“闭集”

$U$为闭集, 对于所有闭集$V$, $U+V=\{u+v:u\in U,v\in V\}$为闭集, 则$U$为有限集.