Smith标准形的第一个对角元是所有元的最大公因数

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矩阵A的Smith标准形的左上角元是A的元的最大公因数。MSE

设d为A的元的最大公因数，可以用它来清除其所在行和列中的所有元，然后可以通过交换行/列将$d$移到左上角。剩下的是一个$n-1$阶矩阵，由归纳假设，其Smith标准形的最大公因数$d'$在左上角，且$d'≥d$。

要证明A的Smith标准形的左上角元$≥d$是很容易的。将A化为Smith标准形进行的所有行变换都不会改变最大公因数（行变换只是交换行和 "将第i行整数k乘以加入第j行"）。因此，$d$整除Smith标准形的所有元。